导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设P为曲线C：y=x3-x2+x上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为______．

正确答案

设点P的横坐标为x0，∵y=x3-x2+x，∴y'|x=x0=x02-2x0，

利用导数的几何意义得x02-2x0=tanα（α为点P处切线的倾斜角），

又∵α∈[0，]，∴0≤x02-2x0≤1，

∴x0∈[0，2]

故答案为：[0，2]．

1

题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线斜率为（），切线方程为（）．

正确答案

4，4x﹣y﹣4=0

1

题型：填空题

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填空题

已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f'（1）=（）．

正确答案

3

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题型：填空题

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填空题

曲线y=x3+x+1在点（1，3）处的切线方程是（）

正确答案

4x﹣y﹣1=0

1

题型：填空题

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填空题

如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线是l，则f（2）+f′（2）=( )

正确答案

1

题型：填空题

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填空题

曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）。

正确答案

45°

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)＝xlnx，过点A 作函数y＝f(x)图象的切线，则切线的方程为________．

正确答案

x＋y＋＝0

设切点T(x0，y0)，则kAT＝f′(x0)，∴＝lnx0＋1，即e2x0＋lnx0＋1＝0，设h(x)＝e2x＋lnx＋1，当x>0时h′(x)>0，∴h(x)是单调递增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根．又h ＝e2×＋ln＋1＝0，∴x0＝.由f′(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋＝0.

1

题型：填空题

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填空题

已知函数满足，且的导函数，则关于的不等式的解集为 .

正确答案

.

试题分析：因为，∴在R上是单调递增的函数；而，即所以不等式的解集为.

1

题型：简答题

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简答题

设，函数．

（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；

（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．

正确答案

1；

（Ⅰ）．

因为是函数的极值点，所以，即，因此．

经验证，当时，是函数的极值点．

（Ⅱ）由题设，．

当在区间上的最大值为时，

，即．故得．

反之，当时，对任意，

，

而，故在区间上的最大值为．

综上，的取值范围为．

1

题型：简答题

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简答题

求在点和处的切线方程。

正确答案

点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；

点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。

即过点的切线的斜率为4，故切线为：．

设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，

故，。

即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

1

题型：填空题

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填空题

曲线在点（1，2）处的切线方程是．

正确答案

试题分析：对求导得:,由导数的几何意义得: ,所以切线方程为 ,化简得.

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知函数（，实数，为常数）．

（Ⅰ）若，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若，讨论函数的单调性．

正确答案

（Ⅰ）;

（Ⅱ）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（1）把，代入，可求出，当，由点斜式方程写出曲线的切线方程，再化为一般式；（2）把代入得，，注意定义域，令，得，．需讨论与0和1的大小得或的的范围，就是原函数的增区间或减区间.

（Ⅰ）因为，所以函数，

又，………………………………………………2分

所以

即在处的切线方程为…………………………………5分

（Ⅱ）因为，所以，则

令，得，．……………………………………………7分

（1）当，即时，函数的单调递减区间为，

单调递增区间为；…………………………………………8分

（2）当，即时，，的变化情况如下表：

所以，函数的单调递增区间为，，

单调递减区间为；…………………………9分

（3）当，即时，函数的单调递增区间为；………10分

（4）当，即时，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；……………………………………11分

综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．…………………………12分

1

题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程为________．

正确答案

解：因为

利用点斜式方程可知为x-y-1=0

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分,（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

已知函数

（Ⅰ）若函数的反函数是其本身，求的值；

（Ⅱ）当时，求函数的最大值.

正确答案

解：（Ⅰ）由题意的反函数为

因为的反函数为其本身，所以 ……………………………………6分

（Ⅱ）

…………………………8分

所以，……………………10分

所以时取得等号

又，所以

当时取得等号

即当时，取得最大值……………………13分

略

1

题型：简答题

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简答题

已知函数R)．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的的切线方程；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

（本题15分）

（Ⅰ）解：当时，．

， ……2分

因为切点为（），则， ……4分

所以在点（）处的曲线的切线方程为：． ……5分

（Ⅱ）解法一：由题意得，即． ……9分

（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分）

， ……10分

因为，所以恒成立，

故在上单调递增， ……12分

要使恒成立，则，解得．……15分

解法二： ……7分

（1）当时，在上恒成立，

故在上单调递增，

即． ……10分

（2）当时，令，对称轴，

则在上单调递增，又

① 当，即时，在上恒成立，

所以在单调递增，

即，不合题意，舍去 ……12分

②当时，，不合题意，舍去 ……14分

综上所述： ……15分

略

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