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题型:简答题
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简答题

已知函数

(Ⅰ)若函数处取得极值,试求的值,并求在点处的切线方程;

(Ⅱ)设,若函数上存在单调递增区间,求的取值范围.

正确答案

(1);(2).

本试题主要考查了导数在研究函数的中的运用。(1)中利用=,因为函数处取得极值,所以,解得,并由此得到,所以函数在点处的切线的斜率

在点处的切线方程为(2)问中,因为函数上存在单调递增区间,是开口向下的抛物线,要使上存在子区间使,即可,解得。

解:(Ⅰ)=.

因为函数处取得极值,所以,解得.

于是函数,.

函数在点处的切线的斜率

在点处的切线方程为.      …………………………6分

(Ⅱ)当时,是开口向下的抛物线,要使上存在子区间使,应满足

解得,或,所以的取值范围是.……13分

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题型:简答题
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简答题

设函数.

(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)求函数单调区间.

正确答案

解:因为所以.

(Ⅰ)当时,,,

所以 .

所以曲线在点处的切线方程为.    ……………4分

(Ⅱ)因为,      ……………5分

(1)当时,由;由.[

所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减. ……………6分

(2)当时,设,方程的判别式

                                 ……………7分

①当时,此时.

,或

.

所以函数单调递增区间是,

单调递减区间.                  ……………9分

②当时,此时.所以

所以函数单调递增区间是.               ……………10分

③当时,此时.

,或.

所以当时,函数单调递减区间是,

单调递增区间.                ……………12分

④当时,此时,所以函数单调递减区间是.

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题型:简答题
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简答题

已知函数的图象过点P( 1,2),且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直.

(2) 若,试求函数f(x)的单调区间;

(3) 若a>0,b>0且(,m),(n,)是f(x)的单调递增区间,试求n-m-2c的范围

正确答案

 

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题型:填空题
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填空题

等比数列中,,函数,则处的切线方程为           .

正确答案

 

试题分析: ,又

 ,

.故切线方程为.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)已知函数=(为实常数).

(1)若函数=1处与轴相切,求实数的值.

(2)若存在∈[1,],使得成立,求实数的取值范围.

正确答案

(1)=;(2)a的取值范围是

(1)先求出原函数的导数==欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.列出关于a的方程求得a的值

(2)存在∈[1,],使得成立,

不等式,     可化为

, ∴且等号不能同时取,所以,即

因而)构造函数利用导数求解最大值即可。

解:(1)==,由=1处与轴相切知,=0,即=0

解得,=

(2)不等式,可化为

, ∴且等号不能同时取,所以,即

因而

),又

时,

从而(仅当x=1时取等号),所以上为增函数,

的最小值为,所以a的取值范围是

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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)某地区预计从2011年初开始的第月,商品A的价格,价格单位:元),且第月该商品的销售量(单位:万件).(1)2011年的最低价格是多少?(2)2011年的哪一个月的销售收入最少?

正确答案

解:(1)第6月的价格最低,最低价格为元; (2)2011年在第5月的销售收入最低.

价格是关于x的二次函数,配方法的最小值;

销售收入=销售价格销售量,

求导,得出极值。

解:(1)时,取得最小值,

即第6月的价格最低,最低价格为元;………………………3分

(2)设第月的销售收入为(万元),依题意有

,()……6分

,……………………………………7分

所以当递减;…………………………………………8分

递增,……………………………………………10分

所以当时,有极小值即最小值. ……………11分

答:2011年在第5月的销售收入最低. ………………………………………12分

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题型:填空题
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填空题

函数的导数是                   。

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)已知函数

(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0,且,已

知a1 = 4,求证:an³ 2n + 2;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较的大小,并说明你的理由.

正确答案

(1)

要使函数f(x)在定义域内为单调函数,则在恒大于0或恒小于0,

内恒成立;

要使恒成立,则,解得

恒成立,

所以的取值范围为.                      ------------------4分

(2)根据题意得:

于是

用数学归纳法证明如下:

,不等式成立;

假设当时,不等式成立,即也成立,

时,

所以当,不等式也成立,

综上得对所有时,都有.      ----------------9分

(3) 由(2)得

于是,所以

累乘得:,所以. --14分

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题型:填空题
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填空题

已知函数,其中.若两曲线有公共点,且在该点处的切线相同.则的值为     . (定义:).

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)

设函数,其中为常数.

(Ⅰ)当时,判断函数的单调性;

(Ⅱ)若函数在其定义域上既有极大值又有极小值,求的取值范围.

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)

设函数f(x)=lnxg(x)=ax+,函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上,且在此点处f(x)与g(x)有公切线.

(Ⅰ) 求a、b的值;  

(Ⅱ) 设x>0,试比较f(x)与g(x)的大小.

正确答案

(I)∵,                     …………2分

∴由题意可得:。              …………5分

(11)由(I)可知,令

,   …………8分

是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0,           …………9分

∴当时,,有

时,,有

x=1时,,有。                     …………12分

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题型:填空题
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填空题

设曲线处的切线与直线平行,则实数的值为      

正确答案

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题型:填空题
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填空题

已知函数的值为      

正确答案

  

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题型:简答题
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简答题

(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;

  (2)运动曲线方程为,求t=3时的速度。

正确答案

  (1)曲线在(1,1)处的切线方程为y=1

  (2)  

(1)

  ,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k=0

  因此曲线在(1,1)处的切线方程为y=1

  (2)

  

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题型:简答题
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简答题

请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?

正确答案

时,帐篷的体积最大

 ,则由题设可得正六棱锥底面边长为

(单位:

于是底面正六边形的面积为(单位:

帐篷的体积为(单位:

求导数,得解得(不合题意,舍去),.

时,,为增函数;当时,,为减函数。

所以当时,最大.答当时,帐篷的体积最大.

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