- 导数及其应用
- 共6208题
已知函数,
.
(Ⅰ)若函数在
处取得极值,试求
的值,并求
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)设,若函数
在
上存在单调递增区间,求
的取值范围.
正确答案
(1);(2)
.
本试题主要考查了导数在研究函数的中的运用。(1)中利用=
,因为函数
在
处取得极值,所以
,解得
,并由此得到
,所以函数
在点
处的切线的斜率
,
则在点
处的切线方程为
(2)问中,因为函数
在
上存在单调递增区间,
是开口向下的抛物线,要使
在
上存在子区间使
,即可,解得。
解:(Ⅰ)=
.
因为函数在
处取得极值,所以
,解得
.
于是函数,
,
.
函数在点
处的切线的斜率
,
则在点
处的切线方程为
. …………………………6分
(Ⅱ)当时,
是开口向下的抛物线,要使
在
上存在子区间使
,应满足
或
解得,或
,所以
的取值范围是
.……13分
设函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求函数单调区间.
正确答案
解:因为所以
.
(Ⅰ)当时,
,
,
所以
.
所以曲线在点
处的切线方程为
. ……………4分
(Ⅱ)因为, ……………5分
(1)当时,由
得
;由
得
.[
所以函数在区间
单调递增, 在区间
单调递减. ……………6分
(2)当时,设
,方程
的判别式
……………7分
①当时,此时
.
由得
,或
;
由得
.
所以函数单调递增区间是
和
,
单调递减区间. ……………9分
②当时,此时
.所以
,
所以函数单调递增区间是
. ……………10分
③当时,此时
.
由得
;
由得
,或
.
所以当时,函数
单调递减区间是
和
,
单调递增区间. ……………12分
④当时,此时
,
,所以函数
单调递减区间是
.
略
已知函数的图象过点P( 1,2),且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直.
(2) 若,试求函数f(x)的单调区间;
(3) 若a>0,b>0且(,m),(n,
)是f(x)的单调递增区间,试求n-m-2c的范围
正确答案
略
等比数列中,
,
,函数
,则
在
处的切线方程为 .
正确答案
试题分析: ,又
,
.故切线方程为
.
(本小题满分12分)已知函数=
(
为实常数).
(1)若函数在
=1处与
轴相切,求实数
的值.
(2)若存在∈[1,
],使得
≤
成立,求实数
的取值范围.
正确答案
(1)=
;(2)a的取值范围是
.
(1)先求出原函数的导数=
=欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.列出关于a的方程求得a的值
(2)存在∈[1,
],使得
≤
成立,
不等式, 可化为
.
∵, ∴
且等号不能同时取,所以
,即
,
因而(
)构造函数利用导数求解最大值即可。
解:(1)=
=
,由
在
=1处与
轴相切知,
=0,即
=0
解得,=
;
(2)不等式,可化为
.
∵, ∴
且等号不能同时取,所以
,即
,
因而(
)
令(
),又
,
当时,
,
,
从而(仅当x=1时取等号),所以
在
上为增函数,
故的最小值为
,所以a的取值范围是
.
(本题满分12分)某地区预计从2011年初开始的第月,商品A的价格
(
,价格单位:元),且第
月该商品的销售量
(单位:万件).(1)2011年的最低价格是多少?(2)2011年的哪一个月的销售收入最少?
正确答案
解:(1)第6月的价格最低,最低价格为元; (2)2011年在第5月的销售收入最低.
价格是关于x的二次函数,配方法的最小值;
销售收入=销售价格销售量,
,
求导,得出极值。
解:(1)当
时,
取得最小值,
即第6月的价格最低,最低价格为元;………………………3分
(2)设第月的销售收入为
(万元),依题意有
,(
)……6分
,……………………………………7分
所以当时
,
递减;…………………………………………8分
当时
,
递增,……………………………………………10分
所以当时,
有极小值即最小值. ……………11分
答:2011年在第5月的销售收入最低. ………………………………………12分
函数的导数是 。
正确答案
略
(本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0,且,已
知a1 = 4,求证:an³ 2n + 2;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较与
的大小,并说明你的理由.
正确答案
(1),
.
要使函数f(x)在定义域内为单调函数,则在
内
恒大于0或恒小于0,
当在
内恒成立;
当要使
恒成立,则
,解得
,
当恒成立,
所以的取值范围为
. ------------------4分
(2)根据题意得:,
于是,
用数学归纳法证明如下:
当,不等式成立;
假设当时,不等式
成立,即
也成立,
当时,
,
所以当,不等式也成立,
综上得对所有时,都有
. ----------------9分
(3) 由(2)得,
于是,所以
,
累乘得:,所以
. --14分
略
已知函数,
,其中
.若两曲线
,
有公共点,且在该点处的切线相同.则
的值为 . (定义:
).
正确答案
略
(本小题满分12分)
设函数,其中
为常数.
(Ⅰ)当时,判断函数
的单调性;
(Ⅱ)若函数在其定义域上既有极大值又有极小值,求
的取值范围.
正确答案
略
(本小题满分12分)
设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+,函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上,且在此点处f(x)与g(x)有公切线.
(Ⅰ) 求a、b的值;
(Ⅱ) 设x>0,试比较f(x)与g(x)的大小.
正确答案
(I)∵,
, …………2分
∴由题意可得:。 …………5分
(11)由(I)可知,令
。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0, …………9分
∴当时,
,有
;
当时,
,有
;
当x=1时,,有
。 …………12分
略
设曲线处的切线与直线
平行,则实数
的值为 .
正确答案
略
已知函数的值为 。
正确答案
略
(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;
(2)运动曲线方程为,求t=3时的速度。
正确答案
(1)曲线在(1,1)处的切线方程为y=1
(2) 。
(1),
,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k=0
因此曲线在(1,1)处的切线方程为y=1
(2)
。
请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
正确答案
当为
时,帐篷的体积最大
设为
,则由题设可得正六棱锥底面边长为
(单位:
)
于是底面正六边形的面积为(单位:)
帐篷的体积为(单位:
)
求导数,得令
解得
(不合题意,舍去),
.
当时,
,
为增函数;当
时,
,
为减函数。
所以当时,
最大.答当
为
时,帐篷的体积最大.
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