- 幂函数
- 共1123题
已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（9，3），则f（100）=______．
正确答案
∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（9，3），
∴3=9α
∴α=
∴f（x）=x12
∴f（100）=10012=10
故答案为10．
已知幂函数y=f（x）的图象过点(
正确答案
设幂函数f（x）=xα，因为其图象过点(
所以，(
所以，f（x）=x3．
则f（2）=23=8．
故答案为8．
幂函数f（x）=xn（n∈Z）具有性质f2（1）+f2（-1）=2[f（1）+f（-1）-1]，判断函数f（x）的奇偶性．
正确答案
由题意得：（1n）2+（（-1）n）2=2[1n+（-1）n-1]，2=2[1n+（-1）n-1]①，
当n为奇数时，①不成立，当n为偶数时，①恒成立，故n一定为偶数，
∴幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．
已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2-ax，当x∈（-1，1）时均有f（x）＜
正确答案
（1）由f(x)=x2-ax，当x∈(-1，1)时，f(x)＜
1
2
＜ax，构造函数：g(x)=x2-
（2）由函数图象知，当x∈（-1，1）时，
g（x）的图象在h（x）的图象下方．
如图：①当a＞1时，有h（-1）≥g（-1），
即a-1≥(-1)2-
②当1＞a＞0时，有h(1)≥g(1)，即a≥12-
有①、②知：实数a的取值范围是[
答案为[
函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2。
（Ⅰ）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？
（Ⅱ）证明：x1∈[1，2]，且x2∈[9，10]；
（Ⅲ）结合函数图象的示意图，判断f(6)，g(6)，f(2011)， g(2011)的大小，并按从小到大的顺序排列．
正确答案
解：（Ⅰ）C1对应的函数为
C2对应的函数为
（Ⅱ）证明：令
则x1，x2为函数
由于
所以方程
∴
（Ⅲ）从图像上可以看出，当
∴
当
∴
∵
∴
f(x)=
正确答案
∵函数f(x)=
故在区间[2，6]上函数f(x)=
当x=2时，函数取最大值2
故答案为：2
已知幂函数f（x）=xm的图象过点（2，
正确答案
∵幂函数f（x）=xm的图象过点（2，
∴2m=
解得m=
∴f（x）=x12，
∴f（
故答案为：
（1）已知幂函数y=xm-2（x∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求函数解析式．
（2）已知函数y=
正确答案
（1）∵幂函数y=xm-2（m∈N）的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m-2≤0，解得m≤2，又m∈N
∴m=0或m=1或m=2，又关于y轴对称，
∴m=0或m=2，
∴f（x）=x-2或f（x）=x0=1（x≠0）；
（2）由15-2x-x2≥0得函数的定义域为[-5，3]，函数的定义域关于原点不对称，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．又对称轴为x=1，
∴x∈[-5，1]时，t随x的增大而增大；x∈（1，3）时，t随x的增大而减小．
又∵函数y=
∴函数y=
已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k），k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）若F（x）=2f（x）-4x+3在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，
正确答案
（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0，
解得：-1＜k＜2．…（2分）
又k∈Z
∴k=0或k=1，…（3分）
分别代入原函数，得f（x）=x2．…（4分）
（2）由已知得F（x）=2x2-4x+3．…（5分）
要使函数不单调，则2a＜1＜a+1，则0＜a＜
（3）由已知，g（x）=-qx2+（2q-1）x+1．…（9分）
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x=
因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得，
又g（2）=-1≠-4，
从而必有g（-1）=2-3q=-4，解得q=2．
此时，g（x）=-2x2+3x+1，其对称轴x=
∴g（x）在[-1，2]上的最大值为g(
∴存在q=2，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，
函数y=x2与
正确答案
y=x
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