热门试卷

（1）；（2）；（3），.

试题分析： （1）由向量的数量积可得：

.

这个函数相邻两个零点间的距离等于半个周期，再利用求周期的公式可得的值.

（2）由（1）得，则.

这里不能展开来求，而应考虑凑角： ，这样再利用差角的正弦公式就可以求出的值；

（3）,这是一个三角函数与一个一次函数的差构成的函数，故可通过导数来求它的单调区间.

试题解析：（1）

,3分

由，得，则.4分

（2）由（1）得，则.

由，得，6分

.8分

（3）,

,

∴                10分

∴（）,

即（）,

又,∴在区间上的单调递减区间为:

，.  （12分）

（Ⅰ）（Ⅱ）在，为增函数，在为减函数

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用导数的几何意义表示切线方程关键是切点和切点出的斜率值。

（2）求解导数，然后对于含有参数的二次不等式的解集进行分类讨论得到。

解：（I）时,,

于是,,

所以函数的图象在点处的切线方程为，即．

（II）

=，

∵，∴ 只需讨论的符号．

ⅰ）当＞2时，＞0，这时＞0，所以函数在（－∞，+∞）上为增函数．ⅱ）当= 2时，≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅲ）当0＜＜2时，令= 0，解得，．

当变化时，和的变化情况如下表：

∴在，为增函数，在为减函数；

【备注题】（Ⅲ）是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

当∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知在上是减函数，在上是增函数，故当∈（0，1）时，，所以当∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．

当∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数不存在.

（1）①若，则，在上单调递增；  ②若，当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增；③若，函数在区间上单调递减.  

（2）故不存在；（3）见解析.

第一问中，利用导数的思想，先求解定义域，然后令导数大于零，小于零，得到函数的单调区间。但是要对参数a分情况讨论得到

第二问中，假设存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直，利用曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

进行分析求解

第三问中，要证，先变形然后利用第二问的结论证明。

解（1）∵，，∴． ……1分

①若，则，在上单调递增；                  ……2分

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，            ……4分

③若，则，函数在区间上单调递减.   ……………………5分

（2）解：∵，，

， ……6分

由（1）易知，当时，在上的最小值：，即时，．                     ………………………8分

又，∴．                     ……9分

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．故不存在.       ………………………10分

（3）证明：

，由（2）知，令得.……14分