热门试卷

解：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB…（2分）

连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°

∴△DAB为等边三角形…（4分）

又∵E为AB的中点，∴AB⊥DE

∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，

∴DC⊥平面PDE；---------------（6分）

（2）∵AD=2，得PD==，

∴Rt△PCD中，PC==4，同理可得PB=4

∵cos∠BPC==，得sin∠BPC==

∴△PBC的面积为S△PBC=PB•PCsin∠BPC=

又∵---------------（9分）

∴设点E到平面PBC的距离为h，

由 VP-EBC=VE-PBC得，，解之得

即点E到平面PBC的距离等于---------------（12分）

证明：（1）∵PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，

又PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD；

（2）取PD的中点E，连AE，NE，M，N分别是AB，PC的中点，

∵NE∥CD，且NE=CD，

∴AMNE为平行四边形，∴MN∥AE，

又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD．

解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF．

而AF⊂平面ABEF，∴CB⊥AF．

再由AF⊥BF，CB∩BF=B，可得AF⊥平面CBF．

（2）过点E，作EH⊥AB，H为垂足．

直角三角形ABF中，由AB=2，AF=AD=1，可得BF=，∠BAF=60°，∴∠EBH=60°．

在等腰梯形ABEF中，易得BH=，EH=，EF=AB-2BH=1．

∴△BEF的面积 S△BEF=•EF•BE•sin∠BEF=×1×1×sin120°=．

∴三棱锥C-BEF的体积为 •S△BEF•BC=×1=．

解：（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥侧面ABB1A1，

∵AE⊂侧面ABB1A1，∴AE⊥BC．…（3分）

在△ABE中，AB=2a，AE=BE=a，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥EB．…（6分）

又BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE．      …（7分）

（Ⅱ）证明：连EF、B1D1，连BD交AC于O，连OE，

∵E、F分别为A1B1、A1D1的中点，∴EF∥B1D1，且EF=B1D1，

∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DO∥B1D1，且DO=B1D1，

∴DO∥EF，且 DO=EF，∴四边形DOEF是平行四边形，…（10分）

∴DF∥OE．     …（11分）

又∵OE⊂平面ACE，DF不在平面ACE内，∴DF∥平面ACE．  …（13分）