热门试卷

证明：（I）如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，对角线BD⊥AC，故有BD⊥平面ACEF，又EO⊂平面ACEF，故得BD⊥EO

又AB=2，．可求得AC=2，即CO=AO=AF=CE=，由于三角形ECO与三角形FAO都是直角三角形，故可得∠EOC=∠FOA=45°，所以∠EOF=90°，即EO⊥OF

又FO∩BD=O，故有EO⊥平面BDF

（II）过O作OP⊥AD于P，过P作PM⊥DF于M，连接OM，

由题设条件知F-AD-O是直二面角，故可得OP⊥面ADF，由此可得OP⊥DF，由作图，PM⊥DF，故有DF⊥面OMP，所以OM⊥DF，由此可证得∠OMP即二面角的平面角，

在直线三角形DOA中，由于OA=OD，故P是AD中点，易得OP=1

在直角三角形DAF中可求得DF=，由P是中点得DP=1，

由于△DAF≈△DMP，故有得MP===

在直角三角形OPM中，tan∠OMP=

二面角A-DF-B的大小为60°

（Ⅰ）证明：取AB的中点E，连接EN，

∵M是PB的中点，N是BC中点，∴ME∥PA，NE∥AC．

∵ME∩NE=E，PA∩AC=A，∴平面MNE∥平面PAC．

又MN⊂平面MNE，∴MN∥平面PAC…（4分）

（Ⅱ）证明：∵PA=AB=1，M是PB的中点，∴AM⊥PB．

又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．

又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．

又AM⊂平面PAB，∴AM⊥BC．

∵PB∩BC=B

∴AM⊥平面PBC．

又PN⊂平面PBC，∴PN⊥AM．

所以无论N点在BC边的何处，都有PN⊥AM；…（8分）

（Ⅲ）解：分别以AD，AB，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BN=m，则A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，1，0），C（2，1，0），N（m，1，0），P（0，0，1），

∴，，．

设平面PDN的法向量为=（x，y，z），则，∴

令x=1得y=2-m，z=2，则

设PA与平面PDN所成的角为θ，则=，

∴，

解得或（舍去）．

∴．…（12分）

证明：（1）∵平面BB1C1C⊥平面ABC

平面BB1C1C∩平面ABC=BC

又∵AC⊥BC，AC⊂平面ABC

∴AC⊥平面BB1C1C（6分）

（2）取BB1的中点D，

AC⊥平面BB1C1C

∴AC⊥BB1∴BB1⊥平面ADC

∴AD⊥BB1

∴∠CDA为二面角A-BB1-C的平面角

∴∠CDA=30°

∵CD=

∴AC=1（8分）

连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角（10分）

在Rt△ACB1中tan∠AB1C=（12分）

解：如图，取AB中点F，连接CF，DF；

∵BC=AC，AD=BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF，CF∩DF=F；

∴AB⊥平面CDF，CD⊂平面CDF；

∴CD⊥AB，CD⊥BE，BE∩AB=B；

∴CD⊥平面ABE，AH⊂平面ABE；

∴CD⊥AH，即AH⊥CD，又AH⊥BE，BE∩CD=E；

∴AH⊥平面BCD．