热门试卷

证明：（Ⅰ）∵A1B1=A1C1，点D是棱B1C1的中点．

∴A1D⊥B1C1．

由直三棱柱ABC-A1B1C1，可得BB1⊥B1C．

∵BB1∩B1C1=B1．

∴A1D⊥平面BB1C1C．

（Ⅱ）∵A1B1=A1C1=2，∠B1A1C1=90°，

∴．

∵点D是棱B1C1的中点，∴．

∵A1A∥平面BB1C1C，∴点A与A1到平面BB1C1C的距离相等，

∴===．

解：（Ⅰ）∵AC=BC=a，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，∴CD⊥AB，

又VC⊥底面ABC．AB⊂平面ABC，

∴VC⊥AB．∵VC∩CD=C，

∴AB⊥平面VCD．又AB⊂平面VAB，

∴平面VAB⊥平面VCD．

（Ⅱ） 过点D在平面ABC内作DE∥BC交AC于E，

则∠VDE就是异面直线VD和BC所成的角．

在△ABC中，，又；

∵BC⊥平面VAC，∴DE⊥平面VAC，∴△VDE为直角三角形，VD=a，，

∴

∴异面直线VD和BC所成角的余弦．

（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，

所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．

所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）

所以NC∥MD，…（3分）

因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．        …（4分）

（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．

因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，

所以NE⊥平面ECDF，…（5分）

因为FC⊂平面ECDF，

所以FC⊥NE．                              …（6分）

又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以 FC⊥ED．  …（7分）

所以FC⊥平面NED，…（8分）

因为ND⊂平面NED，

所以ND⊥FC．                                …（9分）

（Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4-x，其中0＜x＜4．

由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为． …（11分）

所以．                      …（13分）

当且仅当x=4-x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大． …（14分）

解：（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O．

因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．

所以AC⊥BD，O为BD中点．

因为PB=PD，所以PO⊥BD．

因为PO∩BD=O，所以BD⊥平面PAC．

因为CQ⊂平面PAC，所以BD⊥CQ．

（Ⅱ）解：因为PA=PC，所以△PAC为等腰三角形．

因为O为AC中点，所以PO⊥AC．

由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高．

因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=，

所以PO=．

所以VP-ABCD=×2×=2，即VP-ABCD=2．