热门试卷

解：（1）证明：设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，

由于H为BC的中点，故GHAB，又，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∴FH∥平面EDB；

（2）证明：由四边形ABCD是正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，

∴EF⊥BC，而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，

∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，

又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，

∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC，又FH∥EG，∴AC⊥EG，

又AC⊥BD，EG∩BD=G

∴AC⊥平面EDB；

（3）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，

∴BF为四面体B-DEF的高，

又BC=AB=2，∴BF=FC=，S=EF•FC=

四面体B-DEF的体积．VB-DEF==．

证明：（1）由题意知，该几何体是一个三棱柱，且CD⊥DF，AD⊥DF，AD⊥CD，DF=AD=DC=a，

如图，连接BD，

∵N为AC与BD的交点，且AC⊥BD．

∴FD⊥平面ABCD，

∵G为FD上的点，∴GD⊥平面ABCD，

∵AC⊂平面ABCD，∴GD⊥AC，

∵BD∩GD=D，∴AC⊥平面GDN，

∵GN⊂平面GND，∴AC⊥GN．

（2）当时，G是DF的中点，

如图，取DC的中点S，连接AS，CS，

∵M是AB的中点，∴AS∥MC，GS∥FG，

∵AS∩GS=S，FC∩CM=C，∴平面AGS∥平面FMC，

∵AG⊂平面AGS，∴AG∥平面FMC．

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥CD

又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD  …（2分）

又AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE  …（3分）

∵PA=AB=BC=AC，E是PC的中点，

∴AE⊥PC，

∵CD∩PC=C，

∴AE⊥面PCD，

∴AE⊥PD         …（4分）

∵AB∩AE=A，

∴PD⊥面ABE…（5分）

（Ⅱ）解：在底面ABCD中过点C作CM∥AB交AD与点M，在△PAD中过点M作MF∥PA交PD于点F，

连接CF，∴面CMF∥面PAB，∴CF∥面PAB…（7分）

在底面ABCD中，∠CAD=30°，∠ACD=90°，CM⊥AD，故DM=，∴…（8分）

∴在线段PD上存在点F满足，使CF∥面PAB…（9分）

因此，点F是线段DP靠近点D的一个四等分点，则…（10分）

∵△ABC中，且∠ABC=60°，∴

又在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∠ACD=90°，，则DC=3，…（11分）

∴，则…（12分）