- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
（1）若D为PB中点，证明：QD∥平面ABC；
（2）证明：BF⊥平面PAB．
正确答案
∵PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，
∴PA∥QC，∴DE
∴四边形DECQ为矩形
∴DQ∥CE，CE⊂面ABC，
∴DQ∥面ABC（6分）
（2）∵PA∥QC，且
∴C为AF中点
∴BF⊥BA
∵PA⊥面ABC⇒BF⊥面PAB（11分）
∴BF⊥PA（12分）
解析
∵PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，
∴PA∥QC，∴DE
∴四边形DECQ为矩形
∴DQ∥CE，CE⊂面ABC，
∴DQ∥面ABC（6分）
（2）∵PA∥QC，且
∴C为AF中点
∴BF⊥BA
∵PA⊥面ABC⇒BF⊥面PAB（11分）
∴BF⊥PA（12分）
已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心，给出下列四个结论：
①PR与BQ是异面直线；
②RQ⊥平面BCC1B1；
③平面PQR∥平面D1AC；
④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为
以上结论中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
正确答案
③④
解析
解：如图
①PR与BQ是异面直线错误；因为点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心，所以在△A1BC1
中，P，R分别是A1B，A1C1的中点，所以PR∥BQ；
②RQ⊥平面BCC1B1错误；与①同理可得RQ∥AC，所以RQ与平面BCC1B1所成的角是角ACB为45°；
③平面PQR∥平面D1AC正确；因为与①同理得到RQ∥AC．PR∥AD1；所以③正确；
④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为
因为正方体的棱长为1，所以AC=
故答案为：③④．
要证AF⊥SC
只需证 SC⊥平面AEF
只需证 AE⊥SC（因为EF⊥SC）
只需证 AE⊥平面SBC
只需证______（因为AE⊥SB）
只需证 BC⊥平面SAB
只需证______（因为AB⊥BC）
由只需证 SA⊥平面ABC可知上式成立
所以AF⊥SC
把证明过程补充完整①______②______．
正确答案
①
②
AE⊥BC
BC⊥SA
解析
解：根据线面垂直的判定，要证明AE⊥平面SBC，因为AE⊥SB，所以只需证AE⊥BC，即①为AE⊥BC；
要证BC⊥平面SAB，因为AB⊥BC，所以只需证BC⊥SA，即②为BC⊥SA
故答案为AE⊥BC；BC⊥SA．
（1）求证：CD∥平面A1EB；
（2）求证：CD⊥平面A1ABB1．
正确答案
因为O为AB1的中点，D为AB的中点，
所以OD∥BB1且OD=
又E是CC1中点，
所以EC∥BB1且EC=
所以EC∥OD且EC=OD．
所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE；
（2）因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，
所以CD⊥AB，CD⊥A1A，
因为A1A∩AB=A，
所以CD⊥平面A1ABB1．
解析
因为O为AB1的中点，D为AB的中点，
所以OD∥BB1且OD=
又E是CC1中点，
所以EC∥BB1且EC=
所以EC∥OD且EC=OD．
所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE；
（2）因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，
所以CD⊥AB，CD⊥A1A，
因为A1A∩AB=A，
所以CD⊥平面A1ABB1．
（1）求证：BC⊥A1D；
（2）求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值．
正确答案
解：（1）证明：因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，
因为BC⊥CD，A1O∩CD=O，∴BC⊥面A1CD．
因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D．（6分）
（2）连接BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角．
因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC=B，∴A1D⊥面A1BC．A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C．
在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，∴A1C=4．
根据S△A1CD=
在Rt△A1OB中，sin∠A1BO=
所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为
解析
解：（1）证明：因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，
因为BC⊥CD，A1O∩CD=O，∴BC⊥面A1CD．
因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D．（6分）
（2）连接BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角．
因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC=B，∴A1D⊥面A1BC．A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C．
在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，∴A1C=4．
根据S△A1CD=
在Rt△A1OB中，sin∠A1BO=
所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为
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