直线与平面垂直的判定及其性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题

将直线l：x-y+1=0绕着点A（2，3）逆时针方向旋转90°，得到直线l1的方程是（　　）

Ax-2y+4=0

Bx+y-1=0

Cx+y-5=0

D2x+y-7=0

正确答案

C

解析

解：∵直线l的方程为x-y+2=0，其斜率为1，

设直线l1的斜率为k，∵l⊥l1，

∴直线l1的斜率为k=-1，并且过点A（2，3），

所以直线l1的方程是y-3=-（x-2），即x+y-5=0．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

正四面体ABCD边长为2．E，F分别为AC，BD中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面EFD；

（Ⅱ）求的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：连结AF，EF，

∵ABCD是正四面体，E，F分别为AC，BD中点

∴AF=CF，AD=CD，

∴EF⊥AC，DE⊥AC，

∵EF∩DE=E，∴AC⊥平面EFD．

（Ⅱ）解：∵S△FCD=S△BCD，E到平面BCD的距离等于A到平面BCD的距离的一半，

∴=．

解析

（Ⅰ）证明：连结AF，EF，

∵ABCD是正四面体，E，F分别为AC，BD中点

∴AF=CF，AD=CD，

∴EF⊥AC，DE⊥AC，

∵EF∩DE=E，∴AC⊥平面EFD．

（Ⅱ）解：∵S△FCD=S△BCD，E到平面BCD的距离等于A到平面BCD的距离的一半，

∴=．

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题型：简答题

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简答题

如图，在多面体ABCDE中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，四边形为等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，AC=2ED=4，平面BCD丄平面ABE．

（I ）求证：AB丄平面BCD；

（II ）试求二面角C-BD-E的大小．

正确答案

（I ）证明：延长AE与CD交于F，

∵四边形为等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，

∴△ACF为等腰直角三角形

在平面BCF内过C作CG⊥BF于G，∵平面BCD丄平面ABE，∴CG⊥平面ABF

∵AB⊂平面ABF，∴CG⊥AB

∵AB⊥BC，BC∩CG=C

∴AB丄平面BCD；

（II ）解：设H为BF的中点，则EH∥AB，∴EH⊥平面BCF

过H作HP⊥BD于P，则EP⊥BD，∴∠HPE为二面角的平面角的补角

∵EH=1，HP=

∴EP=

∴cos∠HPE=

∴∠HPE=60°

∴二面角C-BD-E的大小为120°．

解析

（I ）证明：延长AE与CD交于F，

∵四边形为等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，

∴△ACF为等腰直角三角形

在平面BCF内过C作CG⊥BF于G，∵平面BCD丄平面ABE，∴CG⊥平面ABF

∵AB⊂平面ABF，∴CG⊥AB

∵AB⊥BC，BC∩CG=C

∴AB丄平面BCD；

（II ）解：设H为BF的中点，则EH∥AB，∴EH⊥平面BCF

过H作HP⊥BD于P，则EP⊥BD，∴∠HPE为二面角的平面角的补角

∵EH=1，HP=

∴EP=

∴cos∠HPE=

∴∠HPE=60°

∴二面角C-BD-E的大小为120°．

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题型：简答题

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简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点．

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF．

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小．

正确答案

解：（Ⅰ）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP=AB=2，BC=AD=2，四边形ABCD是矩形．

∴A，B，C，D的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E（0，，0），F（1，，1）．

∴=（2，2，-2），=（-1，，1），=（1，0，1），

∴•=-2+4-2=0，•=2+0-2=0，

∴⊥，⊥，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，

∴PC⊥平面BEF．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEF的法向量=（2，2，-2），

平面BAP的法向量=（0，2，0）

∴•=8，

设平面BEF与平面BAP的夹角为θ

则cosθ=|cos（，）|===，

∴θ=45°

∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°．

解析

解：（Ⅰ）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP=AB=2，BC=AD=2，四边形ABCD是矩形．

∴A，B，C，D的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E（0，，0），F（1，，1）．

∴=（2，2，-2），=（-1，，1），=（1，0，1），

∴•=-2+4-2=0，•=2+0-2=0，

∴⊥，⊥，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，

∴PC⊥平面BEF．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEF的法向量=（2，2，-2），

平面BAP的法向量=（0，2，0）

∴•=8，

设平面BEF与平面BAP的夹角为θ

则cosθ=|cos（，）|===，

∴θ=45°

∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°．

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题型：简答题

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简答题

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

1）求证AB⊥面VAD；

2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

正确答案

证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，

则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．

又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．

（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．

设正方形ABCD的边长为a，

则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB=

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为．

解析

证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，

则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．

又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．

（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．

设正方形ABCD的边长为a，

则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB=

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为．

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