热门试卷

证明：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．

∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴BC⊥CC1．

∵AC∩CC1=C，

∴BC⊥平面ACC1A1．

∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1C

∵BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C．                                   …（4分）

在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，

∴．

∵，∴四边形ACC1A1为正方形．

∴A1C⊥AC1．                                                   …（6分）

∵B1C1∩AC1=C1，

∴A1C⊥平面AB1C1．                         …（7分）

（Ⅱ）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1   …（9分）

证明如下：

如图，取BB1的中点F，连EF、FD、DE，

∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，

∴EF∥AB1．

∵AB1⊆平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1

∴EF∥平面AB1C1．　　　    …（12分）

同理可证FD∥平面AB1C1．

∵EF∩FD=F，

∴平面EFD∥平面AB1C1

∵DE⊂平面EFD，

∴DE∥平面AB1C1．         …（14分）

解：方法一：

（Ⅰ）证明：在Rt△B1C1D中，∠B1C1D=90°，B1C1=1，C1D=C=1

∴B1D=，同理BD=

在△B1DB中，∵B1D2+BD2=B1B2∴∠B1DB=90°

即B1D⊥BD又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°

∴AB⊥平面BB1C1C，而B1D⊂平面BB1C1C，∴B1D⊥ABAB∩BD=B∴B1D⊥平面ABD；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD⊥B1D，AD⊥B1D，平面AB1D∩平面BB1C1C=B1D

∴∠ADB就是平面AB1D与侧面BB1C1C的成角的平面角

在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=

∴tan∠ADB=，∴∠ADB=arctan．

即平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的大小为arctan．（12分）

方法二：

证明：（Ⅰ）如图所示建立空间直角坐标系B-xyz

则A（0，1，0），B（0，0，0）C（1，0，0），

D（1，0，1），B1（0，0，2），C1（1，0，2）

于是=（1，0，-1），=（1，0，1），

=（0，1，0）

（Ⅰ）∵=（1，0，-1）（1，0，1）=0

=（1，0，-1）（1，-1，1）=0

∴，即B1D⊥BD，B1D⊥AD，

又AD∩BD=D∴B1D⊥平面ABD1

（Ⅱ）设平面AB1D的法向量为=（a，b，c），

则由得

令c=1得a=1，b=2∴n=（1，2，1），

易知平面BB1C1C的法向量为=（0，1，0）

设平面AB1D与平面BB1C1C所成角的大小为θ

则cosθ=

即平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的大小为arccos．（12分）

证明：（1）∵E、F分别为PA、AB的中点，∴EF∥PB，

又∵PB⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，

∴EF∥平面PBC．

（2）∵PA=AB，PC=BC，G为PB的中点，

∴PB⊥AG，PB⊥CG，

又∵AG∩CG=G，

∴PB⊥面ACG，

又∵E、F分别为PA、AB的中点，

∴EF⊥平面ACG．