- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
（1）求证：AC⊥面PAB；
（2）求证：PC⊥EF．
正确答案
解：（1）∵PB⊥底面ABC，AC⊂平面ABC
∴PB⊥AC
又∵∠BAC=90°；
∴AC⊥AB
又PB∩AB=B
∴AC⊥面PAB；
（2）由（1）的结论，由BE⊂平面PAB
∴AC⊥BE，又由BE⊥AP，AC∩AP=A
∴BE⊥平面PAC
∴BE⊥PC
∵BF⊥PC，BF∩BE=B
∴PC⊥平面BEF
∴PC⊥EF
解析
解：（1）∵PB⊥底面ABC，AC⊂平面ABC
∴PB⊥AC
又∵∠BAC=90°；
∴AC⊥AB
又PB∩AB=B
∴AC⊥面PAB；
（2）由（1）的结论，由BE⊂平面PAB
∴AC⊥BE，又由BE⊥AP，AC∩AP=A
∴BE⊥平面PAC
∴BE⊥PC
∵BF⊥PC，BF∩BE=B
∴PC⊥平面BEF
∴PC⊥EF
P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是
正确答案
1
解析
解：
∵PA⊥平面ABCD，AB、AD、BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC
∵BC⊥AB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB
Rt△PAB中，PB=
同理，可得PD=
将①②③联解，可得x=1，y=2，z=3
故P到A点的距离PA=1
故答案为：1
如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中直角三角形的个数为（ ）
正确答案
解析
则AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，
又BC⊥CD，
则CD⊥平面ABC，
则CD⊥AC，
故△ABC，△ACD，△ABD，△BCD均为直角三角形．
故选D．
（1）求证：BP⊥A1P；
（2）若圆柱的体积为12π，OA=2，∠AOP=120°，求异面直线A1B与AP所成角大小．
正确答案
解：（1）证明：易知AP⊥BP，又由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，（2分）
从而BP⊥平面PAA1，故BP⊥A1P；（5分）
（2）解：延长PO交圆O于点Q，连接BQ，A1Q，则BQ∥AP，得∠A1BQ或它的补角为异面直线A1B与AP所成的角．（7分）
由题意V=π•OA2•AA1=4π•AA1=12π，解得AA1=3．（8分）
又
由余弦定理得
得异面直线A1B与AP所成的角为
解析
解：（1）证明：易知AP⊥BP，又由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，（2分）
从而BP⊥平面PAA1，故BP⊥A1P；（5分）
（2）解：延长PO交圆O于点Q，连接BQ，A1Q，则BQ∥AP，得∠A1BQ或它的补角为异面直线A1B与AP所成的角．（7分）
由题意V=π•OA2•AA1=4π•AA1=12π，解得AA1=3．（8分）
又
由余弦定理得
得异面直线A1B与AP所成的角为
（1）求四棱锥S-ABCD的体积和表面积；
（2）求证：直线MC⊥平面BPN．
正确答案
（1）解：由三视图知SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=1，SD=2
∴底面ABCD的面积S=1×1=1
VS-ABCD=
又由题意知AB⊥AD，AB⊥SD，且AD∩SD=D
∴AB⊥面SAD
∴AD⊥SA
同理可证BC⊥SC
∴△SAB，△SBC是直角三角形
∴S表=S△SAD+S△SCD+S△SAB+S△SBC+S=
=
（2）证明：连接PN，PB，设PB∩CM=O
则PN∥SD
∴PN⊥面ABCD
又MC⊂面ABCD
∴PN⊥MC
∵在正方形ABCD中，P、M分别是AD、AB的中点
∴△PAB≌△MBC
∴∠PBA=∠MCB
又∠MCB+∠BMC=90°
∴∠PBA+∠BMC=90°
∴PB⊥MC
又PN∩PB=B，且PN、PB⊂面BPN
∴MC⊥面BPN
解析
（1）解：由三视图知SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=1，SD=2
∴底面ABCD的面积S=1×1=1
VS-ABCD=
又由题意知AB⊥AD，AB⊥SD，且AD∩SD=D
∴AB⊥面SAD
∴AD⊥SA
同理可证BC⊥SC
∴△SAB，△SBC是直角三角形
∴S表=S△SAD+S△SCD+S△SAB+S△SBC+S=
=
（2）证明：连接PN，PB，设PB∩CM=O
则PN∥SD
∴PN⊥面ABCD
又MC⊂面ABCD
∴PN⊥MC
∵在正方形ABCD中，P、M分别是AD、AB的中点
∴△PAB≌△MBC
∴∠PBA=∠MCB
又∠MCB+∠BMC=90°
∴∠PBA+∠BMC=90°
∴PB⊥MC
又PN∩PB=B，且PN、PB⊂面BPN
∴MC⊥面BPN
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