热门试卷

（Ⅰ）证明：取AD中点G，连接FG、BG，则FG⊥AE，

又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG=∠DAE，

∴AE⊥BG，又∵BG∩FG=G，

∴AE⊥平面BFG，

∴AE⊥BF；

（Ⅱ）证明：连A1B，则AB1⊥A1B，

又AB1⊥A1F，A1B∩A1F=A1，

∴AB1⊥平面A1BF，

∴AB1⊥BF，

又AE∩AB1=A，AE⊥BF；

∴BF⊥平面AB1E；

（Ⅲ）解：存在，取CC1中点P，即为所求，

连接EP、C1D

∵EP∥C1D，C1D∥AB1，

∴EP∥AB1，∴AP⊂平面AB1E，

由（Ⅱ）知BF⊥平面AB1E，

∴AP⊥BF．

证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，

∵ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∴AC⊥平面PBD；

（2）设AE交BD于G，

∵点E是BC中点，ABCD是正方形，

∴==，

∵PF=2FB，∴==，

∴连接FG，有FG∥PD，

∵FG⊂AEB，PD⊄AEF，

∴PD∥平面AEF．

解：建立坐标系D-xyz，则A（2，0，0），B1（2，2，2），E（1，2，0），D1（0，0，2），设N（2，b，c）

所以=（-1，2，0），=（0，2，2），=（2，b，c-2）

设平面B1AE的一个法向量为=（x，y，z），所以，即，取y=1，得平面B1AE的一个法向量=（2，1，-1），

假设在正方体表面ABB1A1上存在点N，使D1N⊥平面B1AE，则，所以b=2-c，取c=1则b=1，

所以假设正确，在正方体表面ABB1A1上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．