- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
（Ⅰ）证明：A1B∥平面AFC；
（Ⅱ）证明：B1H⊥平面AFC．
正确答案
解：（Ⅰ）连结BD交AC于点E，则E为BD的中点，连结EF
∵EF是△A1BD的中位线，∴EF∥A1B
∵EF⊂平面AFC，A1B⊄平面AFC，
∴A1B∥平面AFC；
（Ⅱ）连结B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1B1CD是矩形
∵矩形A1B1CD中，H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点
因此，要证明B1H⊥平面AFC，即证明B1D⊥平面AFC
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面AA1C1C，AF⊂平面AA1D1D，∴AF⊥A1B1
又∵正方形AA1D1D中，AF⊥A1D，A1B1∩A1D=A1，
∴AF⊥平面A1B1CD，结合B1D⊂平面A1B1CD，得AF⊥B1D
同理可证：AE⊥B1D，
∵AF、AE是平面AFC内的相交直线，
∴B1D⊥平面AFC，即B1H⊥平面AFC
解析
解：（Ⅰ）连结BD交AC于点E，则E为BD的中点，连结EF
∵EF是△A1BD的中位线，∴EF∥A1B
∵EF⊂平面AFC，A1B⊄平面AFC，
∴A1B∥平面AFC；
（Ⅱ）连结B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1B1CD是矩形
∵矩形A1B1CD中，H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点
因此，要证明B1H⊥平面AFC，即证明B1D⊥平面AFC
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面AA1C1C，AF⊂平面AA1D1D，∴AF⊥A1B1
又∵正方形AA1D1D中，AF⊥A1D，A1B1∩A1D=A1，
∴AF⊥平面A1B1CD，结合B1D⊂平面A1B1CD，得AF⊥B1D
同理可证：AE⊥B1D，
∵AF、AE是平面AFC内的相交直线，
∴B1D⊥平面AFC，即B1H⊥平面AFC
①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；
④AC∥EF，
那么上述几个条件中能成为增加的条件的序号是______（填上你认为正确的所有序号）
正确答案
①③
解析
解：①因为AC⊥β，且EF⊂β所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF⊂α所以EF⊥AB．
因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
所以①可以成为增加的条件．
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上
因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．
所以EF与CD在β内的射影垂直，
AC与CD在β内的射影在同一条直线上
所以EF⊥AC
因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成为增加的条件．
④若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
所以④不可以成为增加的条件．
故答案为：①③．
正确答案
证明：∵∠ABC=45°，CB=
∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos45°=4+2-2×
则AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
解析
证明：∵∠ABC=45°，CB=
∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos45°=4+2-2×
则AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为
正确答案
解：（1）AE⊥PD---------------------------------------（1分）
因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
因为E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD-------------------（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE---------（3分）
PA∩AD=A，且PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD-----------------------------（5分）
∴AE⊥PD-------------------------------------------------（6分）
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，----------（7分）
Rt△EAH中，
当AH最短时，即AH⊥PD时，△AHE面积的最小-----------（8分）
此时，
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．------------------（10分）
解析
解：（1）AE⊥PD---------------------------------------（1分）
因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
因为E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD-------------------（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE---------（3分）
PA∩AD=A，且PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD-----------------------------（5分）
∴AE⊥PD-------------------------------------------------（6分）
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，----------（7分）
Rt△EAH中，
当AH最短时，即AH⊥PD时，△AHE面积的最小-----------（8分）
此时，
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．------------------（10分）
的垂线交CC1于E，交B1C于F．
（I）求证：A1C⊥平面EBD；
（Ⅱ）求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值．
正确答案
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影，∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面BB1C1C，且A1C在平面BB1C1C内的射影B1C⊥BE，
∴A1C⊥BE，又BE∩BD=B∴A1C⊥平面EBD
（Ⅱ）解：连接DF，A1D∵EF⊥B1C，EF⊥A1C
∴EF⊥平面A1B1C∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1，BB1=2
可知
∴
则∵
∴
即A1C⊥BE，A1C⊥DE∵BE∩DE=E∴A1C⊥平面EBD；
（Ⅱ）解：设平面A1B1C的一个法向量为
则
令z=1，得m=（0，2，1），又
设
∴直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为
解析
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影，∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面BB1C1C，且A1C在平面BB1C1C内的射影B1C⊥BE，
∴A1C⊥BE，又BE∩BD=B∴A1C⊥平面EBD
（Ⅱ）解：连接DF，A1D∵EF⊥B1C，EF⊥A1C
∴EF⊥平面A1B1C∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1，BB1=2
可知
∴
则∵
∴
即A1C⊥BE，A1C⊥DE∵BE∩DE=E∴A1C⊥平面EBD；
（Ⅱ）解：设平面A1B1C的一个法向量为
则
令z=1，得m=（0，2，1），又
设
∴直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为
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