热门试卷

解：（I）∵△ABC中，AB=4，BC=，∠CBA=30°，

∴根据余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos∠CBA=4

∴AC2+BC2=4+12=16=AB2

∴AC⊥BC

又∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD

∴PC⊥AC

∵BC、PC是平面PBC内的相交直线

∴AC⊥平面PBC

∴结合BC⊂平面PBC，可得AC⊥BC

（II）过点C作CE⊥AB于E，

∵Rt△BCE中，BC=2，∠ECB=30°

∴CE=BC=

可得梯形ABCD的面积为：SABCD==

又∵PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD

∴PC⊥CD，Rt△PCD中，PC==

所以，根据锥体的体积公式，得VP-ABCD=SABCD•PC=••=，

即此四棱锥的体积的体积为．

证明：∵O是△ABC的垂心，∴BC⊥AE．∵PA⊥平面ABC，根据三垂线定理得BC⊥PE．

∴BC⊥平面PAE．∵Q是△PBC的垂心，故Q在PE上，则OQ⊂平面PAE，∴OQ⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BF⊂平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是△ABC的垂心，

∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC．因而FM是BM在平面PAC内的射影．

因为BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，FM⊥PC，

从而PC⊥平面BFM．又OQ⊂平面BFM，所以OQ⊥PC．

综上知OQ⊥BC，OQ⊥PC，

所以OQ⊥平面PBC．

（1）证明：连接A1C1，交B1D1于点O，由正方体的性质可知AA1⊥平面A1C1，

∴AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，

∵AA1∩A1C1=A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，

∵AC1⊂平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，即AC1⊥B1D1；

（2）证明：连接EO，

在△AA1C1，A1E=EA，A1O=OC1，∴EO∥AC1，

∵EO⊂平面B1D1E，AC1⊄平面B1D1E，

∴AC1∥平面B1D1E；

（3）解：∵AA1=2，A1D1⊥平面AB1E，

∴由点A，B1，D1，E组成的四面体的体积为=