- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
（1）求证：AD⊥PC；
（2）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD．
由已知矩形ABCD可得AD⊥DC．
∵PD∩DC=D，∴AD⊥平面PDC，
∴AD⊥PC．
（2）连接BD交AC于点M，连接ME，则M点满足PA∥平面EDM．
由矩形ABCD可得AM=MC，
又已知PE=EC．
根据三角形的中位线定理得EM∥PA．
∵PA⊄平面EDM，EM⊂平面EDM，
∴PA∥平面EDM．
解析
解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD．
由已知矩形ABCD可得AD⊥DC．
∵PD∩DC=D，∴AD⊥平面PDC，
∴AD⊥PC．
（2）连接BD交AC于点M，连接ME，则M点满足PA∥平面EDM．
由矩形ABCD可得AM=MC，
又已知PE=EC．
根据三角形的中位线定理得EM∥PA．
∵PA⊄平面EDM，EM⊂平面EDM，
∴PA∥平面EDM．
（I） 求证：A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）判断在线段B1B上是否存在一点M，使得A1M⊥B1D？若存在，求出
正确答案
∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，
∴A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A1B1C1，AC⊥BC，故可以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC=BC=BB1=1，点D是BC的中点，
则A1（1，0，1），D（0，
则
∵A1M⊥B1D，
∴
∴h=
∴M为所在线段中点，
∴
解析
∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，
∴A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A1B1C1，AC⊥BC，故可以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC=BC=BB1=1，点D是BC的中点，
则A1（1，0，1），D（0，
则
∵A1M⊥B1D，
∴
∴h=
∴M为所在线段中点，
∴
设l，m为两条不同的直线，α为一个平面，m∥α，则”l⊥α”是”l⊥m”的（ ）
正确答案
解析
解：∵m∥α，则“l⊥α”时，“l⊥m”成立，
“l⊥m”时，l与α可能平行也可能相交，
故“l⊥α”是“l⊥m”的充分不必要条件
故选A
（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱锥B1-ABC的体积．
正确答案
因为ABB1A1是矩形，
D为AA1中点，AB=1，
所以在直角三角形ABB1中，
在直角三角形ABD中，
所以∠AB1B=∠ABD，
又
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB1，
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，
所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，BC⊂面BCD，
故BC⊥AB1．
（Ⅱ）解：在Rt△ABD中，可求得
解析
因为ABB1A1是矩形，
D为AA1中点，AB=1，
所以在直角三角形ABB1中，
在直角三角形ABD中，
所以∠AB1B=∠ABD，
又
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB1，
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，
所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，BC⊂面BCD，
故BC⊥AB1．
（Ⅱ）解：在Rt△ABD中，可求得
已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是______．
正确答案
①，④
解析
解：∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；
∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；
∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；
∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确；
故答案为：①④
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