热门试卷

解：（Ⅰ）∵四边形是平行四边形，

∴AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC=90°，即AC⊥DA

∵PA⊥平面ABCD，DA⊆平面ABCD，∴PA⊥DA，

又∵AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．

（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，连接FH，

则△PAD中，GH平行且等于

∵平行四边形ABCD中，FC平行且等于，

∴GH∥FC且GH=FC，四边形FCGH为平行四边形，得GC∥FH，

∵FH⊂平面PAF，CG⊄平面PAF，

∴CG∥平面PAF，即G为PD中点时，CG∥平面PAF．

设点G到平面ABCD的距离为d，则

由G为PD中点且PA⊥平面ABCD，得d=，

又∵Rt△ACD面积为×1×1=

∴三棱锥A-CDG的体积VA-CDG=VG-CDA=S△ACD×=．

解：（1）∵，∴EF∥B1D1，A1C在平面A1B1C1D1上的射影为A1C1，

∵A1C1⊥B1D1，∴A1C⊥B1D1，∴A1C⊥EF．如图建立空间直角坐

标系，则可求得如下点的坐标：A1（1，0，1），C（0，1，0），E（0，1-λ，1），

设点P的坐标为（1，m，0），则，若A1C⊥EP，则有，

∴m=1-λ，即的值为1-λ．

（2）由（1）知A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，即A1C⊥平面AB1D1且过△AB1D1的中心，同理即A1C⊥平面C1BD且过△C1BD的中心．于是正方体在平面EFP内的射影相当于正方体在平面C1BD内的射影，而正三角形AB1D1中心P在平面C1BD内的射影是正三角形C1BD的中心Q，于是AB1D1在平面C1BD内的射影如图所示，

于是正六边形即为正方体在平面C1BD的射影，BD=，

故正六边形边长为，故射影面积为．

解：（1）∵AB⊥AD，CE∥AB，∴CE⊥AD

∵PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，

∴PA⊥CE，

又∵PA∩AD=A，∴CE⊥平面PAD

（2）取PA的中点G，连结GF、BG，

∵在△PAD中，F是PD的中点，G是PA的中点

∴FG为△PAD的中位线，可得FG∥AD且FG=，

又∵AD∥BC，CE∥AB，

∴四边形BCEA为平行四边形，可得BC∥EA

由=2得E为AD中点，可得BC∥AD且BC=，

∴BCFG，可得四边形BCFG为平行四边形，得CF∥BG

又∵CF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，

∴CF∥平面PAB．

证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，

∴C1C⊥AD，

又AD⊥C1D，C1C∩C1D=C1，

∴AD⊥平面BCC1B1．（6分）

（2）由（1）得∴AD⊥BC，

∵在△ABC中，AB=AC，

∴D为BC边上的中点，（9分）

连接DE，∵点E是B1C1的中点，

∴在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形B1BDE为平行四边形，

∴，又，∴，∴四边形A1ADE为平行四边形．（12分）

∴A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，

∴A1E∥平面ADC1．（14分）