热门试卷

（Ⅰ）解：在直棱柱ABC-A1B1C1中，

AC∥A1C1∴∠BA1C1是异面直线A1B

与AC所成的角（2分）

连接BC1

∴CC1⊥平面A1B1C1

∴CC1⊥A1C1

又∠A1C1B1=∠ACB=90°

即A1C1⊥B1C1

∴A1C1⊥平面BB1C1C

∴BC1⊂平面BB1C1C

∴A1C1⊥BC1

在直角三角形BCC1中，BC=1，CC1=AA1=，∴

在直角三角形A1BC1中，

∴，∴（4分）

（Ⅱ）证明：由（I）可知，BC⊥AC，BC⊥CC1

∴BC⊥平面ACC1A1，又AM⊂平面ACC1A1，则BC⊥AM

∵AM⊥A1C，∴AM⊥平面A1BC

（Ⅲ）解：

在三角形ABC中，作AB边上的高CH，垂足为H，连接MH，

显然CH是MH在平面ABC上的射影

∴MH⊥AB

∴∠MHC是二面角M-AB-C的平面角

（11分）

∵AM⊥A1C

∴∠MAC=∠AA1C，则

tanMAC=tanAA1C

即∴

，故在直角三角形MCH中，（13分）

解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，BC⊂面ABC∴PA⊥BC．

又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．

∵PA与AC相交∴BC⊥平面PAC．

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，

∴AD=，

∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，

∴BC=AB，

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=，

．AD与平面PAC所成的角的余弦值为；

解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，得EF⊥面DNB

则平面BDN⊥平面BCEF，

由BN=平面BDN∩平面BCEF，

则D在平面BCEF上的射影在直线BN上，

又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，

则D在平面BCEF上的射影即为点B，

故BD⊥平面BCEF．（4分）

（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，

∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，

则BN=，DN=2，∴折后图中BD=3，BC=3

∴N（0，，0），D（0，0，3），C（3，0，0）=（-1，0，0）

∴=（-1，，0）=（0，，-3）

∴=

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为（9分）

法二．在线段BC上取点M，使BM=NF，则MN∥BF

∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角．

又MN=BF=2，DM=．

∴

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为

（Ⅲ）∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，

∴

即所求三棱锥的体积为（14分）

证明：（1）∵B′，B分别是中点

∴BO2∥B′O2′

∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径

∴A′O1′∥B′O2′

∴BO2∥A′O1′

∵BO2=A′O1′=1

∴四边形BO2A′O1′是平行四边形

即O1′，A′，O2，B四点共面

（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，

则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，-1，2），A（-1，-1，0），G（-1，-1，1），B′（1，1，2）

则=（-1，0，2），=（-2，-2，-1），=（0，-2，0）

∵•=0，=0

∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′

即，

∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′

∴BO2′⊥平面H′B′G