热门试卷

解：法一：（I）如图，连接CA1、AC1、CM，则CA1=，

∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，

又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B，

∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=，

又BB1=1，∴A1B=2，

∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1．

又DM=AC1=，DM=C1M，∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM，

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM．

（II）设F、G分别为BC、BD的中点，连接B1G、FG、B1F，

则FG∥CD，FG=CD．∴FG=，FG⊥BD．

由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D，知BD=B1D=A1B=1，

所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD，B1G=，

∴∠B1GF是所求二面角的平面角．

又B1F2=B1B2+BF2=1+（）2=．

∴cos∠B1GF=．

即所求二面角的大小为π-arccos．

法二：如图以C为原点建立坐标系．

（I）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），D（，，），

M（，1，0），=（，，），=（，-1，-1），=（0，，-），，

∴CD⊥A1B，CD⊥DM．

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，

所以CD⊥平面BDM．

（II）设BD中点为G，连接B1G，

则G，=（-，，），=，

∴，∴BD⊥B1G，

又CD⊥BD，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角，

cos．

所以所求二面角的大小为π-arccos．

解：（1）证明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，

由余弦定理得，BD=∴AB2=AD2+BD2．

∴AD⊥BD（2分）

又GD⊥平面ABCD

∴GD⊥BD，

GD∩AD=D，

∴BD⊥平面ADG（4分）

（2）以D为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OG为z轴建立空间直角坐标系D-xyz

则有A（1，0，0），B（0，，0），G（0，0，1），E（0，）（6分）

设平面AEFG法向量为m=（x，y，z）

则，

取（9分）

平面ABCD的一个法向量（10分）

设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为θ，

则（12分）

∴平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．