- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
正确答案
设CD1∩DG=O，显然∠DCD1=∠OCD．
由于AB=AD=
则DD1=2，CG=
直角三角形DD1C中，tan∠DD1C=
直角三角形CDG中，tan∠CDG=
∴∠DD1C=∠CDG，∴△DCO∽△D1DC，∴∠D1DC=∠COD．
再由长方体中，∠D1DC=
这样，在平面平面ADG中，有两条相交直线都和CD1垂直，故CD1⊥平面ADG．
解析
设CD1∩DG=O，显然∠DCD1=∠OCD．
由于AB=AD=
则DD1=2，CG=
直角三角形DD1C中，tan∠DD1C=
直角三角形CDG中，tan∠CDG=
∴∠DD1C=∠CDG，∴△DCO∽△D1DC，∴∠D1DC=∠COD．
再由长方体中，∠D1DC=
这样，在平面平面ADG中，有两条相交直线都和CD1垂直，故CD1⊥平面ADG．
过△ABC所在平面R外一点P作P0⊥α，垂足为0，连接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，则点0是△ABC的______ 心；
（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点0是△ABC的______心．
正确答案
外
垂
解析
∵P0⊥α，垂足为0，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PBO
可得AO=BO=CO，得点0是△ABC的外心
（2）若PA⊥PB，PC⊥PA，PC⊥PA，
∵PB、PC是平面PBC内的相交直线
∴PA⊥平面PBC，可得PA⊥BC
∵AO是PA在平面ABC内的射影，
∴AO⊥BC，同理可得BO⊥AC、CO⊥AB
因此，点0是△ABC的垂心
故答案为：外、垂
“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是（ ）
正确答案
解析
解：根据面面垂直的判定可知，直线l垂直于平面α，则经过直线l的某一个平面与平面α垂直，
当经过直线l的某一个平面与平面α垂直时，直线l垂直于平面α不一定成立，
∴“经过直线l的某一个平面与平面α垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件．
故选：D
如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．
（Ⅰ）求三棱锥B-ACD的体积VB-ACD；
（Ⅱ）现发现BC边上距点C的
正确答案
解：（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD
∵面ABC⊥面ACD，BO⊂面ABC，面ABC∩面ACD=AC，
∴BO⊥面ACD，又∵OD⊂面ACD
∴BO⊥OD
由已知BO=
则
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，
∵EF∥AC，EF⊄面ACD，AC⊂面ACD，
∴EF∥面ACD，
又∵EG∥平面ACD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）．
解析
解：（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD
∵面ABC⊥面ACD，BO⊂面ABC，面ABC∩面ACD=AC，
∴BO⊥面ACD，又∵OD⊂面ACD
∴BO⊥OD
由已知BO=
则
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，
∵EF∥AC，EF⊄面ACD，AC⊂面ACD，
∴EF∥面ACD，
又∵EG∥平面ACD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）．
下面给出四个命题：
①直线l与平面a内两直线都垂直，则l⊥a．
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；
③过平面a外两点，有且只有一个平面与a垂直．
④直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β．
其中正确的命题个数为（ ）
正确答案
解析
解：①直线l与平面a内两直线都垂直，根据线面垂直的判定定理可知缺少相交直线这个条件，故不能得到l⊥a，不正确；
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b，命题不正确，因为直线a与直线b平行，那么经过直线a没有平面与直线b垂直．只有与直线b平行或直线b在平面a中了．
③过平面a外两点，有且只有一个平面与a垂直，是不正确的，当两点所在直线与平面a垂直，则有无数个平面
④直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β，故正确
故选C
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