热门试卷

解：（1）取AB中点G，连结A1G、FG

∵FG是正方形ABCD的对边中点的连线，∴FGAD

∵A1D1AD，∴FGA1D1，可得四边形GFD1A1是平行四边形，

所以A1G∥D1F．

设A1G与AE相交于点H，∠AHA1是AE与D1F所成的角．

∵正方形ABA1B1中，G、E分别是AB、BB1的中点，

∴Rt△A1AG≌Rt△ABE，得∠GA1A=∠BAE=90°-∠A1AE

∴∠GA1A+∠A1AE=90°，得∠AHA1=90°即AE⊥A1G，

结合A1G∥D1F，得AE⊥D1F；

（2）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，

A1D1⊥平面ABB1A1，且AE⊂平面ABB1A1，

∴A1D1⊥AE，

又∵AE⊥D1F，A1D1∩D1F1=D1，

∴AE⊥平面A1D1F．

解：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=a

∴△ACB是等腰三角形，

又∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，

∵VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，

又∵CD∩VC=C

∴AB⊥平面VCD．

（Ⅱ）设点C到平面VAB的距离为h，据VV-ABC=VC-VAB

即，得h=，

所以点C到平面VAB的距离为．

解：（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AB=B1B，∴四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，

又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1．

又在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1 ．

（2）证明：设AB=BB1=a，CE=x．由AC1⊥平面A1BD可得AC1⊥BD，且AC1⊥A1D，

再由直三棱柱的性质可得 CC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥AC．

∵D为AC的中点，故△BAC为等腰三角形，∴A1B=A1C1=a．

又∵B1C1⊥平面ABB1A1 ，B1C1⊥A1B1，∴B1C1=a，BE=，

A1E==，在△A1BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B•A1E•cos45°，

即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2 •a•，

∴=2a-x，解得x= a，即E是C1C的中点．

∵D．E分别为AC．C1C的中点，∴DE∥AC1，

∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD，又∵DE⊂平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE．