- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
（Ⅰ）求证：DE⊥NC；
（Ⅱ）求三棱锥E-MDC的体积．
正确答案
（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=
∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90°，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（2分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE⊂平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（4分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC，…（6分）
∴DE⊥NC． …（8分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD．
∴VE-MDC=VM-EDC=
解析
（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=
∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90°，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（2分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE⊂平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（4分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC，…（6分）
∴DE⊥NC． …（8分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD．
∴VE-MDC=VM-EDC=
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求
正确答案
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC⊥面CB1，△ABC为正三角形，
所以AM⊥BC，
故AM⊥平面CB1，又BD⊂平面CB1，
所以AM⊥BD．
又正方形BCC1B1中，
所以∠BB1M=∠CBD，
所以BD⊥B1M，又B1M∩AM=M，
所以BD⊥平面AB1M，故AB1⊥BD，
又正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B，A1B∩BD=B，
所以AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．
因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND∥平面ABC，
又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，
所以ON∥平面ABC，又ON⊂平面BAA1B1，平面BAA1B1∩平面ABC=AB，
所以ON∥AB，注意到AB∥A1B1，所以ON∥A1B1，又N为AA1的中点，
所以O为AB1的中点，即
解析
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC⊥面CB1，△ABC为正三角形，
所以AM⊥BC，
故AM⊥平面CB1，又BD⊂平面CB1，
所以AM⊥BD．
又正方形BCC1B1中，
所以∠BB1M=∠CBD，
所以BD⊥B1M，又B1M∩AM=M，
所以BD⊥平面AB1M，故AB1⊥BD，
又正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B，A1B∩BD=B，
所以AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．
因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND∥平面ABC，
又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，
所以ON∥平面ABC，又ON⊂平面BAA1B1，平面BAA1B1∩平面ABC=AB，
所以ON∥AB，注意到AB∥A1B1，所以ON∥A1B1，又N为AA1的中点，
所以O为AB1的中点，即
正确答案
解析
解：∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴PO⊥AC，
又∵AC⊥BO，PO∩BO=O，
∴AC⊥平面PBD，
因此，平面PBD中的4条线段PB、PD、PO、BD都与AC垂直．
故选：D
正确答案
4
解析
解：由题意AB⊥平面BCD，由直线和平面垂直的定义
∴①AB⊥BC，⇒△ABC是直角三角形
②AB⊥BD，⇒△ABD是直角三角形
又 ③∠BCD=90°△BCD是直角三角形
④AB⊥平面BCD⇒AB⊥DC，又BC⊥DC，
由直线和平面垂直的判定定理，得 DC⊥面ABC，
∴DC⊥AC⇒△ACD是直角三角形
故答案为4．
（1）求证：AB⊥平面ADC；
（2）求三棱锥A-BCD的体积．
正确答案
解：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，DB⊥DC．
∴CD⊥平面ABD，
∵AB⊂平面ABD，
∴CD⊥AB，
∵AB⊥AD，且AD∩AB=B，
∴AB⊥平面ADC．
（2）取BD的中点O，连结AO，
∵AB=AD=1，AB⊥AD，
∴三角形ABD为等腰直角三角形，
∴A0⊥BD，且AO=
∵平面ABD⊥平面BCD，A0⊥BD，
∴A0⊥平面BCD，即AO是三棱锥A-BCD的高，
∵DB=DC，DB⊥DC．
∴CD=BD=
即三角形BCD的面积为
∴三棱锥A-BCD的体积为
解析
解：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，DB⊥DC．
∴CD⊥平面ABD，
∵AB⊂平面ABD，
∴CD⊥AB，
∵AB⊥AD，且AD∩AB=B，
∴AB⊥平面ADC．
（2）取BD的中点O，连结AO，
∵AB=AD=1，AB⊥AD，
∴三角形ABD为等腰直角三角形，
∴A0⊥BD，且AO=
∵平面ABD⊥平面BCD，A0⊥BD，
∴A0⊥平面BCD，即AO是三棱锥A-BCD的高，
∵DB=DC，DB⊥DC．
∴CD=BD=
即三角形BCD的面积为
∴三棱锥A-BCD的体积为
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