热门试卷

证明：（1）由题意知AD⊥侧面BCC1B1，由于B1F⊂侧面BCC1B1，故可得AD⊥B1F

又由题设条件，由勾股定理可解得DF=，B1F=，B1D=

∴DF2+B1F2=B1D22=10

故有DF⊥B1F

从而得B1F⊥平面ADF；

（2）连接CE交AF于O，由题设条件知，O是两线段的中点，连接OD，则OD是三角形BCE的中位线，所以OD∥BE，

又OD在面ADF内，BE不在面ADF内

所以BE∥平面ADF

解：（1）连接BC1

由正方体的性质得BC1是BD1在

平面BCC1B1内的射影（3分）且B1C⊥BC1，

所以BD1⊥B1C（5分）

B1C∥PM，则BD1⊥PM，而BD1⊥MN

又MN∩PM=M，∴BD1⊥平面MNP．

（2）延长CB到Q，使BQ=BM，连接B1Q，OQ

则QM∥C1B1，且QM=C1B1．

∴B1Q∥C1M．

∴∠OB1Q是异面直线B1O与C1M所成的角．（12分）

由于正方体的棱长为2，

则B1O=，B1Q==

设底面ABCD的中点为O1，

可求得OQ==

cos∠OB1Q==

即异面直线B1O与C1M所成角的大小为arccos．（14分）

解：（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

∴BA，BC，BB1两两垂直．

以BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…1分

则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）

∵=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

=（4，4，0）•（0，0，4）=0…3分

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1B1N；…4分

（Ⅱ）∵BN⊥平面C1B1N，是平面C1B1N的一个法向量=（4，4，0），…5分

设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，

则⇒⇒，

取=（=（1，1，2），…7分

则cosθ═=；…9分

（Ⅲ）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（-2，0，a），

∵MP∥平面CNB1，

∴⊥，

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0

∴a=1…12分

又MP⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，

∴当BP=1时MP∥平面CNB1…13分

解：（Ⅰ）证：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1  …（2分）

又A1C1⊄平面ACD∴A1C1∥平面ACD  …（4分）

（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC

∴A1A⊥AC    …（6分）    又∠BAC=90°∴AC⊥AB

∴AC⊥平面A1ABB1  …（8分）

又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D

∴异面直线AC与A1D所成的角大小为．…（9分）

（Ⅲ）∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1=∠ADB=45°

∴∠A1DA=90°即  A1D⊥AD  …（11分）  

 由（Ⅱ）知A1D⊥AC，

∴A1D⊥平面ACD  …（14分）