热门试卷

解：（1）证明：连A1B，与AB1相交于P，则点P为A1B的中点，连MP，PN则PNBB1=MC，又CC1⊥底面ABC，

∴四边形MCNP为矩形，

∴CN∥MP，MP⊂平面AMB1，CN⊄平面AMB1，

∴CN∥平面AMB1；

（2）∵CC1⊥底面ABC，CC1⊂平面BCC1B1，

∴底面ABC⊥平面BCC1B1，

又∵底面ABC是边长为2的正三角形，G是BC的中点，

∴AG⊥BC，底面ABC∩平面BCC1B1=BC，

∴AG⊥平面BCC1B1，B1M⊂平面BCC1B1，

∴AG⊥B1M①．

∵CC1=2，△ABC是边长为2的正三角形，在△AMB1中，|B1M|=|AM|==，

|AB1|===2，

∴=+|AM|2，

∴AM⊥B1M②而AM∩AG=A，

∴B1M⊥平面AMG．

证明：（1）∵AE=ED，AF=FC

∴EF∥DC，而EF⊄平面BCD，DC⊂平面BCD

∴EF∥平面BCD

（2）∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD

∴BC⊥AD而BC⊥CD，AD∩CD=D

∴BC⊥平面ACD

（I）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD（1分）

又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD（2分）

AD⊥SD（3分）

∴CD⊥平面ADS（4分）

（II）解：矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，

∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角（5分）

在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．

∴Rt△SDC中，

∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，

∴SC⊥BC（6分）

tan∠SBC=

cos∠SBC=（8分）

从而SB与AD的成的角的余弦为．

（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB

∴SD⊥面ABCD．

∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．

∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB

又过A作AF⊥SB于F，连接EF，

从而得：EF⊥SB

∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角（10分）

在矩形ABCD中，对角线∵

BD=∴在△ABD中，AE=

由（2）知在Rt△SBC，．

而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，

∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，

∴

∴

所以所求的二面角的余弦为（12分）

解：（Ⅰ）证明：∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴AC=．

又∵四边形ABCD为直角梯形，AD=2，AB=BC=1，∴CD=，

∵AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°．

∵平面PAC⊥平面ACD．

∴DC⊥平面APC．

（Ⅱ）解：过P作PH⊥AC于H，则PH⊥平面ABC，且H为AC的中点，连接BH，则PH=BH=，

所以BP═PC=1，∴△PBC是正三角形，S△PBC=，

设棱锥A-PBC的高为h，

∵VA-PBC=VP-ABC，，

即，

解得h=．