热门试卷

解：连接CD，

AB==10，

∴AD=DB=5，CD=AB=5

∵DE⊥α，

∴DE⊥AB，DE⊥CD，

∴AE=BE===13，

CD==13．

证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连接OB，OD，则由题意得：OB⊥AC，OD⊥AC，OB∩OD=O，

则AC⊥平面OBD，又BD⊂平面OBD，∴AC⊥BD；

（Ⅱ）存在点G使DF∥平面BEG，AG：GC=1：2，理由如下：

当AG：GC=1：2时，取GC的中点O，连接OD，OF，

则易知AG=GO=OC，故由AG=GO，以及AE=ED可知：EG是△AOD的中位线，从而GE∥OD，

于是易知OD∥平面BEG，由CO=GO，

∵CF=BF，可知FG是△CBG的中位线，∴FG∥OF，易知OF∥平面BEG；

由于OD与OF相交于O，故平面ODF∥平面BEG．由DF⊂平面ODF可知，DF∥平面BEG．

由于平面ODF以及BE都是不变的，故能作出平面ODF∥平面BEG的点G是唯一的，

因此存在点G使DF∥平面BEG，此时AG：GC=1：2．

解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：

O（0，0，0），A（0，1，0），B（-1，0，0），C（0，-1，0，），D（1，0，0，），

E（0，-1，1），F（0，1，1），M（0，0，1）．

（1）∵

∴，即AM∥OE，

又∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

∴AM∥平面BDE；

（2）∵，

∴，

∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF．

证明：（1）取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF

∴四边形AEFQ为平行四边形

∴EF∥AQ

又∵AQ在平面PAD内，EF不在平面PAD内

∴EF∥面PAD；

（2）∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，

PA在平面PAD内，AD在平面PAD内，

∴CD⊥面PAD，

又∵AQ在平面PAD，

∴CD⊥AQ；

∵EF∥AQ，

∴CD⊥EF；

（3）∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD．

又∠PDA=45°，∴△PAD为等腰直角三角形．

又Q是PD中点，∴AQ⊥PD，又AQ∥EF，∴EF⊥PD．

又ABCD为矩形，∴AB⊥AD．

又AB⊥PA，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD．

∵AQ⊂平面PAD，

∴AB⊥AQ，又AB∥CD，AE∥MN，∴EF⊥CD．

又∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．