- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
（1）若多面体面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
（2）若a=4，b=2，求该多面体的体积；
（3）当a，b满足什么条件时AD1⊥DB1，并证明你的结论．
正确答案
∵E为AA1的中点，O为AC的中点，
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线，
∴OE∥A1C，
∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，
∴OE∥平面A1C1C；
（2）多面体表面共包括10个面，补全长方体ABCD-A‘B'C'D'，则知多面体ABCD-A1B1C1D1体积为：
=4×4×2-4×
=
（3）易知CD⊥平面ADD1，D1B1∥DC，D1B1，OC确定平面CDD1B1，
∵AD1⊂平面ADD1，
∴CD⊥AD1，若AD1⊥DB1，
∵DB1∩CD=D，
∴AD1⊥平面CDD1B1，
∵DD1⊂平面CDD1B1，
∴AD1⊥DD1，取AD中点M，
则D1M∥A'A，且D1M=A'A，
∴在RtADD1中，2D1M=AD，即a=2b
即：当a=2b时，AD1⊥DB1．
解析
∵E为AA1的中点，O为AC的中点，
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线，
∴OE∥A1C，
∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，
∴OE∥平面A1C1C；
（2）多面体表面共包括10个面，补全长方体ABCD-A‘B'C'D'，则知多面体ABCD-A1B1C1D1体积为：
=4×4×2-4×
=
（3）易知CD⊥平面ADD1，D1B1∥DC，D1B1，OC确定平面CDD1B1，
∵AD1⊂平面ADD1，
∴CD⊥AD1，若AD1⊥DB1，
∵DB1∩CD=D，
∴AD1⊥平面CDD1B1，
∵DD1⊂平面CDD1B1，
∴AD1⊥DD1，取AD中点M，
则D1M∥A'A，且D1M=A'A，
∴在RtADD1中，2D1M=AD，即a=2b
即：当a=2b时，AD1⊥DB1．
正确答案
解析
解：①因为AC⊥β，且EF⊂β所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF⊂α所以EF⊥AB．
因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
所以①可以成为增加的条件．
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上
因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．
所以EF与CD在β内的射影垂直，
AC与CD在β内的射影在同一条直线上
所以EF⊥AC
因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成为增加的条件．
④若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
所以④不可以成为增加的条件．
答案为：①③．
故选B．
（Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值．
正确答案
解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形，
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）设AB=a，
由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q一ABCD的体积
由（Ⅰ）知PQ为棱锥P-DCQ的高而PQ=
所以棱锥P-DCQ的体积
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1：l．
解析
解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形，
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）设AB=a，
由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q一ABCD的体积
由（Ⅰ）知PQ为棱锥P-DCQ的高而PQ=
所以棱锥P-DCQ的体积
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1：l．
在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB与C1D1的中点．
（1）求证：四边形A1ECF是菱形；
（2）求证：EF⊥平面A1B1C；
（3）求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值．
正确答案
（1）证明：取A1B1的中点G，连接C1G、GE．
∵A1G∥FC1且A1G=FC1，∴A1GC1F是平行四边形．
∴A1F∥C1G．同理C1G∥CE．∴A1F∥CE．
由勾股定理算得A1E=A1F=CE=CF=
（2）证明：连接C1B，∵E、F分别为AB与C1D1的中点，
∴C1F=BE．又C1F∥BE，
∴C1FEB为平行四边形．∴C1B∥EF．而C1B⊥B1C，
∴EF⊥B1C．又四边形A1ECF是菱形，∴EF⊥A1C．∴EF⊥面A1B1C．
（3）解：由（2）知，EF⊥平面A1B1C，又EF⊂平面A1ECF，
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF．∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上．
∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．
∵A1B1⊥B1C，在Rt△A1B1C中，tan∠B1A1C=
∴A1B1与平面A1ECF所成角的正切值为
解析
（1）证明：取A1B1的中点G，连接C1G、GE．
∵A1G∥FC1且A1G=FC1，∴A1GC1F是平行四边形．
∴A1F∥C1G．同理C1G∥CE．∴A1F∥CE．
由勾股定理算得A1E=A1F=CE=CF=
（2）证明：连接C1B，∵E、F分别为AB与C1D1的中点，
∴C1F=BE．又C1F∥BE，
∴C1FEB为平行四边形．∴C1B∥EF．而C1B⊥B1C，
∴EF⊥B1C．又四边形A1ECF是菱形，∴EF⊥A1C．∴EF⊥面A1B1C．
（3）解：由（2）知，EF⊥平面A1B1C，又EF⊂平面A1ECF，
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF．∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上．
∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．
∵A1B1⊥B1C，在Rt△A1B1C中，tan∠B1A1C=
∴A1B1与平面A1ECF所成角的正切值为
（Ⅰ）证明：P1P2⊥BD；
（Ⅱ）求四面体P1P2AB体积的最大值．
正确答案
证明（1）连接AC，DB．AC为平面AEC与平面ABCD的交线，
∵P1P2∥平面ABCD，
∴P1P2∥AC
又∵平面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∴P1P2⊥BD
（2）∵
∴CD⊥DE．
∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥AE，AB⊥AE，
∵
∵
∴CB⊥BE．
∵CB⊥BE．
CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE．
过P2做P2O⊥BE与O点，连接OP1
∵P2O⊥BE，
∴P2O⊥平面ABE．
连接OP1，
∴OP1⊥AE
设AP1=x，则OP1=P1B=1-x，
解析
证明（1）连接AC，DB．AC为平面AEC与平面ABCD的交线，
∵P1P2∥平面ABCD，
∴P1P2∥AC
又∵平面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∴P1P2⊥BD
（2）∵
∴CD⊥DE．
∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥AE，AB⊥AE，
∵
∵
∴CB⊥BE．
∵CB⊥BE．
CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE．
过P2做P2O⊥BE与O点，连接OP1
∵P2O⊥BE，
∴P2O⊥平面ABE．
连接OP1，
∴OP1⊥AE
设AP1=x，则OP1=P1B=1-x，
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