热门试卷

证明：（I）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF∥DE

∵AC=AD，

∴AO⊥CD

∵DE∥AB

∴DE⊥平面ACD

∴DE⊥CD，OF⊥CD，又AO∩OF=O

∴CD⊥平面AOF

∵AF⊂平面AOF

∴AF⊥CD．（4分）

解：（ II）以O为坐标原点，分别以OF、OD、OA为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图

所以，，

设是平面BCE的一个法向量，

由得取，（6分）

易知是平面ACD的一个法向量，

，

于是平面ACD与平面BCE的夹角等于．（8分）

（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高h，易求，（10分）

（12分）

证明：∵AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°

∴建立以A为坐标原点，以AB，AC，AA1分别x，y，z轴建立空间坐标系如图：

∵AA1=AC=AB，

∴设AA1=AC=AB=1，

则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（0，1，1），

∵点E，F，G分别是棱BB1，A1B1，CC1的中点，

∴F（，0，1），G（0，1，），

则=（，0，1），=（-1，1，），

则•=（，0，1）•（-1，1，）=，

则⊥，即AF⊥BG

解：（1）证：由BD⊥AO，BD⊥OC，得BD⊥平面AOC，

又E，F分别为BC，CD的中点，EF∥BD，

所以，EF⊥平面AOC．（4分）

（2）设EF与交于点G，连接AG．由（1）EF⊥平面AOC，

得AE与平面AOC所成的角为∠EAG．（6分）

AG=，EG=1，AE=，sin∠EAG=，

所以，AE与平面AOC所成角的正弦值为．（8分）

（3）由EF∥BD，得BD∥平面AEF，

所以，点B到平面AEF的距离等于点O到平面AEF的距离

又EF⊥平面AOC，EF⊂平面AEF，得平面AOC⊥平面AEF，

所以，点O到平面AEF的距离点等于点O到AG的距离．（10分）

在△AOG中，AO=4，OG=2，AG=，

所以，点B到平面AEF的距离为．（12分）

证明：（Ⅰ）因为AB⊥侧面BB1C1C，故AB⊥BC1

在△BC1C中，

由余弦定理有

故有BC2+BC12=CC12

∴C1B⊥BC

而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC

∴C1B⊥平面ABC

（Ⅱ）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE

从而B1E⊥平面ABE且BE⊂平面ABE故BE⊥B1E

不妨设CE=x，则C1E=2-x，则BE2=1+x2-x

又∵则B1E2=1+x2+x

在Rt△BEB1中有x2+x+1+x2-x+1=4从而x=±1（舍负）

故E为CC1的中点时，EA⊥EB1

（Ⅲ）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M

连DF则DF∥A1B1，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A1B1

连MF则MF∥BE，且MNDF为矩形，MD∥AE

又∵A1B1⊥EB1，BE⊥EB1故∠MDF为所求二面角的平面角

在Rt△DFM中，

∴