- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
正确答案
解析
解：连结B1D1，BD，因为几何体是正方体，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又B1B⊥AC，
∴AC⊥平面BDD1B1，B1H⊂平面BDD1B1，∴AC⊥B1H，∵B1H⊥D1O，AC∩D1O=O，∴B1H⊥平面AD1C．
故选A．
如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，垂足分别为B、E、F；求证：EF⊥PC．
正确答案
证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，
∵AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC，
∵AF⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF，
∴EF⊥PC．
解析
证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，
∵AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC，
∵AF⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF，
∴EF⊥PC．
（1）求证：AC⊥平面B1CB；
（2）求三棱锥B1-ABC的体积．
正确答案
解：（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
则BB1⊥AB，BB1⊥BC，
又由于AC=BC=BB1=1，AB1=
则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，
又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，
则AC⊥平面B1CB；
（2）由于在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
故三棱锥B1-ABC的体积
解析
解：（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
则BB1⊥AB，BB1⊥BC，
又由于AC=BC=BB1=1，AB1=
则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，
又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，
则AC⊥平面B1CB；
（2）由于在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
故三棱锥B1-ABC的体积
（1）求证：AC⊥面ABC1；
（2）求证：C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（3）求此三棱柱体积的最小值．
正确答案
∴AC⊥BC1，又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1
（2）由（1）知AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC1，
在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC
故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．
解：（3）连接HC，由（2）知C1H⊥平面ABC，
∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，
∴∠C1CH=60°，C1H=CH•tan60°=
V棱柱=
∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，
所以棱柱体积最小值3
解析
∴AC⊥BC1，又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1
（2）由（1）知AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC1，
在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC
故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．
解：（3）连接HC，由（2）知C1H⊥平面ABC，
∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，
∴∠C1CH=60°，C1H=CH•tan60°=
V棱柱=
∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，
所以棱柱体积最小值3
（1）EO∥平面PCD；
（2）平面PBO⊥平面PAC．
正确答案
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB∩CD=O，
∴O是BD的中点，
又∵E是PB的中点，∴EO是△PBD的中位线，可得EO∥PD． …（2分）
∵EO⊈平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EO∥平面PCD． …（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，…（8分）
又∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC…（12分）
又∵BD⊂平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．…（14分）
解析
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB∩CD=O，
∴O是BD的中点，
又∵E是PB的中点，∴EO是△PBD的中位线，可得EO∥PD． …（2分）
∵EO⊈平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EO∥平面PCD． …（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，…（8分）
又∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC…（12分）
又∵BD⊂平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．…（14分）
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