- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（ ）
A1
B
C
D2
正确答案
解析
解：∵AB⊥平面BCD，CD⊂面BCD，
∴AB⊥CD，
又CD⊥BC，
∴CD⊥面ABC，
∴CD⊥AC，
又AB=BC=CD=1，∴AD2=AC2+CD2=AB2+BC2+CD2=3，
∴AD=
故选C．
已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：AD⊥平面PBE；
（2）若Q是PC的中点，求证PA∥平面BDQ；
（3）若VP-BCDE=3VQ-ABCD，试求
正确答案
解：（1）由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE，
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又E是AD的中点，所以AD⊥BE，
又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．
（2）连结AC交BD于O，连OQ
因为O是AC的中点，Q是PC的中点，
所以OQ∥PA．又PA⊄面BDQ，OQ⊂BDQ，
所以PA∥平面BDQ．
（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，
所以
因为VP-BCDE=3VQ-ABCD，且底面积
所以
解析
解：（1）由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE，
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又E是AD的中点，所以AD⊥BE，
又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．
（2）连结AC交BD于O，连OQ
因为O是AC的中点，Q是PC的中点，
所以OQ∥PA．又PA⊄面BDQ，OQ⊂BDQ，
所以PA∥平面BDQ．
（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，
所以
因为VP-BCDE=3VQ-ABCD，且底面积
所以
求证：
（1）直线GH∥平面MCD；
（2）平面BGH⊥平面MAD．
正确答案
证明：（1）∵G、H分别是AM、AD的中点，∴GH∥MD，又∵GH⊄平面MCD，MD⊂平面MCD，∴GH∥平面MCD．
（2）不妨设AB=2．
在三角形ABH中，由余弦定理可得
∴
∵平面MAD⊥平面ABCD，∴BH⊥平面MAD，
∵BH⊂平面BGH，
∴平面BGH⊥平面MAD．
解析
证明：（1）∵G、H分别是AM、AD的中点，∴GH∥MD，又∵GH⊄平面MCD，MD⊂平面MCD，∴GH∥平面MCD．
（2）不妨设AB=2．
在三角形ABH中，由余弦定理可得
∴
∵平面MAD⊥平面ABCD，∴BH⊥平面MAD，
∵BH⊂平面BGH，
∴平面BGH⊥平面MAD．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，求证：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求线段PA上点Q的位置，使得PC∥平面BDQ．
正确答案
又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC
∴PC⊥平面BDE，（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD
因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BD
BD⊥平面PAC，所以点Q是线段PA上任一点都有
BD⊥DQ（8分）
（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC=
计算得AD=
即AQ=
解析
又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC
∴PC⊥平面BDE，（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD
因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BD
BD⊥平面PAC，所以点Q是线段PA上任一点都有
BD⊥DQ（8分）
（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC=
计算得AD=
即AQ=
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求证：CM∥平面BEF；
（3）求三棱锥F-ABE的体积．
正确答案
（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB …（1分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB …（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC …（3分）
∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE …（4分）
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC …（5分）
∵PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC …（6分）
（2）证明：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC中点，FA=2FP，∴EF∥CG．…（7分）
同理可证：GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．…（9分）
∵CM⊂平面CDG，∴CM∥平面BEF．…（10分）
（3）解：由（1）可知BE⊥平面PAC
又PB=BC=4，E为PC的中点，∴BE=2
∵
∴VF-ABE=VB-AEF=
∴三棱锥F-ABE的体积为
解析
（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB …（1分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB …（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC …（3分）
∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE …（4分）
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC …（5分）
∵PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC …（6分）
（2）证明：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC中点，FA=2FP，∴EF∥CG．…（7分）
同理可证：GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．…（9分）
∵CM⊂平面CDG，∴CM∥平面BEF．…（10分）
（3）解：由（1）可知BE⊥平面PAC
又PB=BC=4，E为PC的中点，∴BE=2
∵
∴VF-ABE=VB-AEF=
∴三棱锥F-ABE的体积为
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