热门试卷

证明：（Ⅰ）∵∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∵AC⊥AA1，AB∩AA1=A，

∴AC⊥平面ABB1A1，

∴AC⊥A1B

（Ⅱ）∵AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AE⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，

∴B1C⊥AE

在矩形BCC1B1中，tan∠CB1C1=tan∠EC1C=，

∵∠CB1C1+∠B1CC1=

∴∠B1CC1+∠EC1C═，

∴B1C⊥EC1，

又AE∩EC1=E，

∴B1C⊥平面AEC1．

证明：取AB中点E，连接DE、CE，∵BC=AC，E为AB中点，∴CE⊥AB，

同理DE⊥AB．

∵CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE，而CD⊂平面CDE，

∴AB⊥CD．

（1）证明：由题意可得四边形A1C1CA是矩形，又=AA1，

∴四边形A1C1CA是正方形，∴A1C⊥AC1．

∵BC⊥CA，CC1⊥BC，BC∩CC1=C，

∴BC⊥平面A1C1CA，∴BC⊥A1C，

∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C．

又AC1∩B1C1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1．

（2）在棱AB上存在一点E为AB的中点，使DE∥平面AB1C1．

证明：取AC的中点F，AB的中点E，连接DF、EF、DE．

由三角形中位线定理可得：DF∥AC1，EF∥BC，即EF∥B1C1．

∵DF⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1．

∴DF∥平面AB1C1．

同理EF∥平面AB1C1．

而DF∩EF=F，∴平面EFD∥平面AB1C1．

∴DE∥平面AB1C1．

（3）解：设AC1∩A1C=O，由（1）可知：A1O⊥平面AB1C1，

∴A1O即为点A1到平面AB1C1．的距离．

而=．

∴点A1到平面AB1C1．的距离为．

证明：（1）∵AD∥BC，∴=，

∵=，

∴．

∴EF∥PA．

∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB．

∴EF∥平面PAB；

（2）∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD．

在直角梯形ABCD中，过点D作DM∥AC交BC的延长线于点M．

∵AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=2，BC=6．

∴BD==4，AC==．

∴BD2+DM2=BM2=82，

∴BD⊥DM．

即BD⊥AC．

又AC∩PA=A，

∴BD⊥平面PAC．