- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
正确答案
解析
解：如图所示：
∵AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF=P．
∴AP⊥平面PEF．
故选A．
（I）求证AB⊥平面AA1C1C；
（II）求证C1C⊥平面ABC1；
（III）求AC与BC1所成的角．
正确答案
AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，
又∵∠BAC=90°∴AB⊥AC，
AA1∩AC=A，
从而AB⊥平面AA1C1C…（4分）
（II）由（I）可知AB⊥平面AA1C1C，C1C⊂平面AA1C1C，
∴C1C⊥AB
又∵C1C⊥BC1并且AB∩BC1=B，
∴C1C⊥平面ABC1…（8分）
（III）连接A1B，∵AC∥A1C1∴AC与BC1所成的角是∠BC1A1（或它的补角）
∵A1C1⊥A1B1，A1C1⊥A1A，，A1A∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面A1ABB1∵BA1⊂平面A1ABB1∴A1C1⊥A1B
在直角三角形A1C1B中，A1C1=a，C1B=2a
∠BC1A1=60°
即 异面直线AC与BC1所成的角为60°…（15分）
解析
AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，
又∵∠BAC=90°∴AB⊥AC，
AA1∩AC=A，
从而AB⊥平面AA1C1C…（4分）
（II）由（I）可知AB⊥平面AA1C1C，C1C⊂平面AA1C1C，
∴C1C⊥AB
又∵C1C⊥BC1并且AB∩BC1=B，
∴C1C⊥平面ABC1…（8分）
（III）连接A1B，∵AC∥A1C1∴AC与BC1所成的角是∠BC1A1（或它的补角）
∵A1C1⊥A1B1，A1C1⊥A1A，，A1A∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面A1ABB1∵BA1⊂平面A1ABB1∴A1C1⊥A1B
在直角三角形A1C1B中，A1C1=a，C1B=2a
∠BC1A1=60°
即 异面直线AC与BC1所成的角为60°…（15分）
正确答案
且ABCD是正方形，所以BC⊥DC，
所以PC⊥BC；
设BC的中点为G，
连接EG，FG，如图所示；
则EG∥PC，FG∥DC，
所以BC⊥EG，BC⊥FG；
因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG；
因为EF⊂面EFG，所以BC⊥EF；①
又设PC的中点为H，且E为PB中点，连接DH，
所以EH∥BC，且EH=
又BC∥AD，且BC=AD，
∴EH∥AD，且EH=
所以四边形EHDF是平行四边形，
所以EF∥DH；
因为等腰直角△PDC中，H为底边PC的中点，
所以DH⊥PC，即EF⊥PC；②
因为PC∩BC=C，③
由①②③知EF⊥平面PCB．
解析
且ABCD是正方形，所以BC⊥DC，
所以PC⊥BC；
设BC的中点为G，
连接EG，FG，如图所示；
则EG∥PC，FG∥DC，
所以BC⊥EG，BC⊥FG；
因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG；
因为EF⊂面EFG，所以BC⊥EF；①
又设PC的中点为H，且E为PB中点，连接DH，
所以EH∥BC，且EH=
又BC∥AD，且BC=AD，
∴EH∥AD，且EH=
所以四边形EHDF是平行四边形，
所以EF∥DH；
因为等腰直角△PDC中，H为底边PC的中点，
所以DH⊥PC，即EF⊥PC；②
因为PC∩BC=C，③
由①②③知EF⊥平面PCB．
（1）求证：直线A1C1⊥面BDD1B1；
（2）若AA1=2，求四棱锥D1-ABCD的体积．
正确答案
解：（1）BB1⊥平面A1B1C1D1，且A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1…（2分）
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1…（4分）
又∵BB1⊂平面BDD1B1，B1D1⊂平面BDD1B1，BB1∩B1D1=B…（6分）
∴直线A1C1⊥面BDD1B1；…（8分）
（2）∵AA1=2，可得正方形ABCD的边长等于2，
∴正方形ABCD的面积S=2×2=4…（10分）
∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1为四棱锥D1-ABCD的高…（12分）
∴V
即四棱锥四棱锥D1-ABCD的体积为
解析
解：（1）BB1⊥平面A1B1C1D1，且A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1…（2分）
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1…（4分）
又∵BB1⊂平面BDD1B1，B1D1⊂平面BDD1B1，BB1∩B1D1=B…（6分）
∴直线A1C1⊥面BDD1B1；…（8分）
（2）∵AA1=2，可得正方形ABCD的边长等于2，
∴正方形ABCD的面积S=2×2=4…（10分）
∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1为四棱锥D1-ABCD的高…（12分）
∴V
即四棱锥四棱锥D1-ABCD的体积为
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF∥平面PEC；
（3）在线段BC上是否存在一点M，使AF⊥平面PDM？
若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由．
正确答案
证明：（1）连接AC，则AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD又AC与PA相交于A
∴BD⊥平面PAC∴PC⊥BD（4分）
（2）取PC的中点K，连接FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形．
∴AF∥EK，又EK⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，
∴AF∥平面PEC．（8分）
（3）当M是BC的中点时，可使AF⊥平面PDM，证明如下：（9分）
∵PA=DA，F是PD的中点∴AF⊥PD（10分）
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°∴正△BCD中DM⊥BC
又AD∥BC∴DM⊥AD（12分）
∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥DM∴DM⊥平面PAD
∴DM⊥AF又PD∩DM=D∴AF⊥平面PDM（14分）
解析
证明：（1）连接AC，则AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD又AC与PA相交于A
∴BD⊥平面PAC∴PC⊥BD（4分）
（2）取PC的中点K，连接FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形．
∴AF∥EK，又EK⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，
∴AF∥平面PEC．（8分）
（3）当M是BC的中点时，可使AF⊥平面PDM，证明如下：（9分）
∵PA=DA，F是PD的中点∴AF⊥PD（10分）
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°∴正△BCD中DM⊥BC
又AD∥BC∴DM⊥AD（12分）
∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥DM∴DM⊥平面PAD
∴DM⊥AF又PD∩DM=D∴AF⊥平面PDM（14分）
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