热门试卷

解：（1）证明：∵OM是△APC的中位线，∴OM∥PC，∵OM⊥面ABCD，∵PC⊥面ABCD，PC⊥BD．

又底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD．而OM 和 AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC．

（2）△ABC中，有余弦定理求得AC=，∵侧棱PA与底面所成角为45°，∴PC=，

三棱锥E-PAD的体积 VE-PAD=VB-PAD= VP-BAD=×S△ABD•PC

=（sin60°） =． 

（3）∵PC⊥面ABCD，作CF⊥AD，交 AD延长线于F，则PF⊥AD．过点P作AD的平行线l，

则l是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的棱，且l⊥PC，l⊥PF，

故∠CPF为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．

CF=DCsin60°=，Rt△PCF中，tan∠CPF===，

∴cos∠CPF=．

解：（Ⅰ）∵四边形ABCD为矩形，∴DA⊥AB，且DA∥BC，…（1分）

∵∠PBC=90°，得BC⊥PB，∴DA⊥PB…（3分）

又∵AB∩PB=B，AB、PB⊂平面PAB

∴DA⊥平面PAB，…（5分）

（Ⅱ）∵PA=1，AB=2，∠PAB=120°，

∴根据正弦定理，得△PAB的面积为S△PAB=×1×2×sin120°=，…（7分）

由（1）DA⊥平面PAB，且AD∥BC．可得BC⊥平面PAB，

∴BC是三棱锥C-PAB的高线，…（9分）

因此，可得VC-PAB=S△PAB•BC=××1=，…（10分）

∵VD-PAC=VP-DAC=VP-ABC=VC-PAB…（12分）

∴三棱锥D-PAC的体积VD-PAC=VC-PAB=…（13分）

解：（Ⅰ）证明：由 PA⊥底面ABC，PA⊂平面PAC，

可得平面PAC⊥⊥平面ABC．

由于E是CA的中点，△ABC为等边三角形，∴BE⊥AC．

再由BE⊂平面ABC，平面 ABC∩平面PAC=AC，∴BE⊥平面PAC．

（Ⅱ）若PA=AB=2，则三棱锥P-ABC的体积 V=•S△ABC•PA=（AB•AC•sinA）PA=（）×2=．

（Ⅲ）在BC上是存在一点F，且F为CD的中点，使AD∥平面PEF．

证明：∵E、F分别为AC、CD的中点，∴EF∥AD．

由于 EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，∴AD∥平面PEF．