热门试卷

证明：（1）做DA的中点M，连接MF，ME，

∵E、F、M均为中点，

∴EM∥PA，MF∥AB，

∵PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，

∴面MEF∥面ABP，

∵EF⊂面MEF，

∴EF∥平面PAB；

（2）∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴PA⊥AD，

∵底面ABCD为正方形，

∴AD⊥AB．

∵PA∩AB=A，

∴AD⊥平面PAB，

∵PB⊂平面PAB，

∴AD⊥PB．

（Ⅰ）证明：∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，

∴A1D⊥平面ABC，

∵A1D⊂平面A1AC，

∴平面A1AC⊥平面ABC，

∵BC⊥AC，平面A1AC∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面A1AC，

∵AC1⊂平面A1AC，

∴BC⊥AC1，

∵四边形ACC1A1为平行四边形，AA1=AC，

∴四边形ACC1A1为菱形，

∴A1C⊥AC1，

∵A1C⊂平面A1CB，BC⊂平面A1CB，A1C∩BC=C，

∴AC1⊥平面A1CB，

∵BA1⊂平面A1CB，

∴AC1⊥BA1．

（Ⅱ）∵=S△ABC•A1D=××2×2×=．

=S△ABC•A1D=×2×2×=2．

∴=-=2-=．

（Ⅰ）证明一：连接BD1，BC1

∵E、F分别为DD1、BD的中点∴EF∥BD1

∵正方体ABCD-A1B1C1D1

∴D1C1⊥平面BCC1B1∴D1C1⊥B1C

∵正方形BCC1B1∴B1C⊥BC1

∵D1C1∩BC1=C1∴B1C⊥平面BC1D1∴B1C⊥BD1

∵EF∥BD1∴EF⊥B1C

证明二：∵∴Rt△EDF∽Rt△FBB1

∴∠DEF=∠BFB1∴∠BFB1+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°∴∠EFB1=90°

∴EF⊥FB1    又∵CF⊥平面BDD1B∴CF⊥EF

B1F∩CF=F∴EF⊥平面B1FC∴EF⊥B1C

（Ⅱ）∵CB=CD，BF=DF∴CF⊥BD∵DD1⊥平面ABCD∴DD1⊥CF

又DD1∩BD=D∴CF⊥平面BDD1B1   又CF=

方法一：△B1EF的面积=2×2---=

方法二：∵EF⊥平面B1FC∴EF⊥FB1

EF=，FB1=

Rt△B1EF的面积=×EF×FB1=××=

∴VB1-EFC=VC-B1EF=×S△B1EF×CF==1

∴三棱锥B1-EFC的体积为1．

证明：（I） 连接A1C交AC1于点O，连接EO

∵ACC1A1为正方形，∴O为中点

∴EO∥A1B，EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，

∴A1B∥平面AEC1．

（Ⅱ）∵AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AE⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，

∴B1C⊥AE

在矩形BCC1B1中，tan∠CB1C1=tan∠EC1C=，

∵∠CB1C1+∠B1CC1=

∴∠B1CC1+∠EC1C═，

∴B1C⊥EC1，

又AE∩EC1=E，

∴B1C⊥平面AEC1