热门试卷

解：（Ⅰ）设A1A=h，由题设=-=10，

得SABCD×h-××h=10，

即2×2×h-××2×2×h=1解得h=3．

故A1A的长为3．（4分）

（Ⅱ）如图，连接AC、BO1

∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，

∴A1C1∥AC．

∴四边形ABCD是正方形．

∴AC⊥BD；

∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥D1D又AC与BD相交

∴AC⊥平面D1DC．   由A1C1∥AC．

∴A1C1⊥平面D1DC．A1C1⊂平面A1BC1．

∴平面A1BC1⊥平面BDD1．            （9分）

（Ⅲ）因为在长方体中A1D1∥BC，

所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．（11分）

在△O1BC中，计算可得O1B=O1C=，

则∠O1BC的余弦值为，

故异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为：．（14分）

解：（1）连结BD，

∵EF为△BCD的中位线，∴EF∥BD，

∵四边形ABCD为正方形，得BD⊥AC，∴EF⊥AC，

又∵正方体中，AA1⊥面ABCD，EF⊂面ABCD，∴AA1⊥EF，

∵AA1、AC是平面AA1C内的相交直线，

∴EF⊥平面AA1C，

又∵A1C⊂平面EFG，∴EF⊥A1C．

（2）连结C1D

∵△CC1D中，F、G分别是CD、CC1的中点，∴FG∥C1D

∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，ADB1C1，

∴四边形ADB1C1是平行四边形，可得AB1∥C1D

因此FG∥AB1

∵FG⊄平面AB1D1，AB1⊂平面AB1D1，∴FG∥平面AB1D1

同理可得EF∥平面AB1D1

∵FG、EF为平面EFG内的相交直线，∴平面A B1D1∥平面EFG．

解：解法一：

依题设知AB=2，CE=1．

（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．

由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3分）

在平面A1CA内，连接EF交A1C于点G，

由于，

故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE与∠FCA1互余．

于是A1C⊥EF．A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，

所以A1C⊥平面BED．（6分）

（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，

故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角．（8分）

，，．，．

又，．．

所以二面角A1-DE-B的大小为．（（12分））

解法二：

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系D-xyz．

依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．

，．（3分）

（Ⅰ）因为，，

故A1C⊥BD，A1C⊥DE．

又DB∩DE=D，

所以A1C⊥平面DBE．（6分）

（Ⅱ）设向量=（x，y，z）是平面DA1E的法向量，则，．

故2y+z=0，2x+4z=0．

令y=1，则z=-2，x=4，=（4，1，-2）．（9分）等于二面角A1-DE-B的平面角，

所以二面角A1-DE-B的大小为．（12分）

解：（1）直观图与三视图如图（1、2）

           图 1                              图 2  

        图三

（2）设AC交EF于S，若OG⊥平面A1EF，则OG⊥A1S，如图3，

∵=tan∠GOC==，设正方体的棱长为1，∴CG===．