热门试卷

解：（I）证：∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形

∴∠A1DB1=∠ADB=45°∴∠A1DA=90°，即A1D⊥AD（2分）

又∵

∴A1D⊥平面ADC（4分）

（II）解：连AC1交A1C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF∥C1D

∴∠CEF是异面直线A1C与C1D所成的角（或补角）（5分）

，，

在△CEF中，（8分）

∴

则异面直线A1C与C1D所成角的大小为（9分）

（III）解：延长A1D与AB延长线交于G点，连接CG

过A作AH⊥CG于H点，连A1H，∵A1A⊥平面ABC，∴A1H⊥CG（三垂线定理）

则∠A1HA是二面角A1-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角（10分）

在直角三角形ACG中，∵AC=a，AG=2a∴，∴（11分）

在直角三角形A1AH中，（13分）

∴，

即所求的二面角的大小为（14分）

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB⊥AB，

∴EB⊥平面ABCD，

又MN∥EB，∴MN⊥面ABCD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角，∴∠EDB=30°．

又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°∴DE==4

连接AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角，∴∠DEA=45°．

在Rt△DAE中，∠DAE=90°，

∴AE=DE•cos∠DEA=2

在Rt△ABE中，AB===2．

解：如图所示，

（Ⅰ）证明：因为，AB=2，

所以AB2=AE2+BE2，即AE⊥EB，（2分）

取AE的中点M，连接MD′，则AD=D′E=1⇒MD′⊥AE，

又平面D′AE⊥平面ABCE，可得MD′⊥平面ABCE，

即得MD′⊥BE，（5分）

从而EB⊥平面AD′E，故AD′⊥EB（7分）

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A（2，1，0）、C（0，0，0）、B（0，1，0）、，E（1，0，0），从而，，．（9分）

设为平面ABD‘的法向量，

则可以取（11分）

设为平面BD′E的法向量，

则可以取（13分）

因此，，有，

即平面ABD′⊥平面BD′E，故二面角A-BD′-E的大小为90°．（14分）

（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，

∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC，

∵BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD，

又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．

∴BD⊥AC，

又AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1A1；

（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图

则O为B1C的中点，

∵D是AC的中点，∴AB1∥OD，

又OD⊂平面BC1D，OD⊄平面BC1D

∴直线AB1∥平面BC1D；

（Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；

证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，

由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1，

而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE，

由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，

所以CE⊥平面BC1D，

DM⊂平面BC1D，

所以CE⊥DM．