热门试卷

解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，

建立空间坐标系．

则有题意可得 D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、

N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（-，0，-1），=（-1，0，1），

cos＜＞==-，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为 ．

假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵=（0，1，1），

可设=λ•=（0，λ，λ）．

又=（，-1，0），=+=（，λ-1，λ），

由ES⊥平面AMN可得 ，即 ，解得λ=．

此时，=（0，，），||=，故当||= 时，ES⊥平面AMN．

解：（1）∵BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，

∴AE⊥BC，…（2分）

又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，

∴AE⊥BF，…（4分）

又∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE…（6分）

∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．       …（8分）

（2）取DE的中点P，连接PA、PN，因为点N为线段CE的中点．

所以PN∥DC，且，…（10分）

又∵四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，

∴AM∥DC，且，

∴PN∥AM，且PN=AM，可得四边形AMNP是平行四边形，MN∥AP…（12分）

∵AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，

∴MN∥平面DAE．　  …（14分）

证明：（1）正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BB1，

又∵AC⊥BD，BD∩B1B=B，

∴AC⊥平面B1D1DB；

（2）∵AC⊥平面BDD1B1，

又BD1⊂平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1，同理可证AB1⊥BD1，

∵AC与AB1是平面ACB1内的两条相交直线，

∴BD1⊥平面ACB1．