- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
（Ⅰ）证明：C1D⊥平面BDC；
（Ⅱ）设AA1=2，求几何体C-BC1D的体积．
正确答案
（Ⅰ）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，
又DC∩BC=C，
∴C1D⊥平面BDC；（6分）
（2）解：∵ACB=90°，AC=BC=
∴VC-BC1D=VB-CC1D=
解析
（Ⅰ）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，
又DC∩BC=C，
∴C1D⊥平面BDC；（6分）
（2）解：∵ACB=90°，AC=BC=
∴VC-BC1D=VB-CC1D=
①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；
③平面ABC⊥β；
④AC与BD在β内的射影在同一条直线上．
其中能成为增加条件的是______．（把你认为正确的条件的序号都填上）
正确答案
①③④
解析
解：要增加一个条件，推出BD⊥EF，
∵AB⊥α，CD⊥α，∴平面ABDC与EF垂直，
∴需要加一个条件能够使得线与面垂直，
①通过线面垂直得到线线垂直，使得EF垂直于平面ABDC，所以①可以成为增加的条件；
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直，所以②不可以成为增加的条件；
③因为平面ABC⊥β，平面ABDC⊥α，α∩β=EF，所以EFEF⊥平面ACBD，所以③可以成为增加的条件；
④因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD，所以EF与CD在β内的射影垂直，
因为AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以EF⊥AC
因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，所以④可以成为增加的条件．
故答案为：①③④
在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（ ）
AAD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为
BBD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为
CAD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为
DBD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为
正确答案
解析
解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AD，
又由三视图可得在△PAC中，PA=AC=4，D为PC的中点，
∴AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC．
又BC=4，∠ADC=90°，BC⊥平面PAC．
故
故选：C．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面ABCD．
正确答案
∵CE=
∴CE∥DG且CE=DG，
∴四边形ABEG为平行四边形，
∴BE∥AG，
∵AG⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
（Ⅱ）∵ABCD为正方形，
∴AD⊥CD，
∵DF⊥DC，DF⊂平面ADF，AD⊂平面ADF，AD∩DF=D，
∴CD⊥平面ADF，
∵FA⊂平面ADF，
∴CD⊥FA，
∵AF=
∴DF2=AF2+AD2，
∴DF⊥AD，
∵AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，CD∩AD=D，
∴AF⊥平面ABCD．
解析
∵CE=
∴CE∥DG且CE=DG，
∴四边形ABEG为平行四边形，
∴BE∥AG，
∵AG⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
（Ⅱ）∵ABCD为正方形，
∴AD⊥CD，
∵DF⊥DC，DF⊂平面ADF，AD⊂平面ADF，AD∩DF=D，
∴CD⊥平面ADF，
∵FA⊂平面ADF，
∴CD⊥FA，
∵AF=
∴DF2=AF2+AD2，
∴DF⊥AD，
∵AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，CD∩AD=D，
∴AF⊥平面ABCD．
求证：
（1）BC1∥平面AB1D；
（2）A1C⊥平面AB1D．
正确答案
解：（1）连结A1B，设A1B∩AB1=O，连结OD
∵△A1BC1中，A1D=DC1，A1O=OB
∴OD∥BC1
∵OD⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，
∴BC1∥平面AB1D；
（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∵B1D⊂平面A1B1C1，∴B1D⊥AA1，
∵B1D是正三角形A1B1C1的中线，可得B1D⊥A1C1
∴结合AA1∩A1C1=A1，得B1D⊥平面AA1C1C
∵A1C⊂平面AA1C1C，∴B1D⊥A1C，
∵AB=
∵∠DA1A=∠A1AC=Rt∠
∴△DA1A∽△A1AC，可得∠ADA1=∠CA1A=90°-∠DA1C
因此，∠ADA1+∠DA1C=90°，从而A1C⊥AD
∵B1D、AD是平面AB1D内的相交直线，
∴A1C⊥平面AB1D．
解析
解：（1）连结A1B，设A1B∩AB1=O，连结OD
∵△A1BC1中，A1D=DC1，A1O=OB
∴OD∥BC1
∵OD⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，
∴BC1∥平面AB1D；
（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∵B1D⊂平面A1B1C1，∴B1D⊥AA1，
∵B1D是正三角形A1B1C1的中线，可得B1D⊥A1C1
∴结合AA1∩A1C1=A1，得B1D⊥平面AA1C1C
∵A1C⊂平面AA1C1C，∴B1D⊥A1C，
∵AB=
∵∠DA1A=∠A1AC=Rt∠
∴△DA1A∽△A1AC，可得∠ADA1=∠CA1A=90°-∠DA1C
因此，∠ADA1+∠DA1C=90°，从而A1C⊥AD
∵B1D、AD是平面AB1D内的相交直线，
∴A1C⊥平面AB1D．
扫码查看完整答案与解析