- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
（1）求证：DM⊥平面SAB；
（2）求异面直线DM与SC所成角的大小．
正确答案
解：（1）连接BD，则BD=
∵SB=
∴△SDA为等腰直角三角形，又M为棱SA的中点，
∴DM⊥SA；
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥AB，又AB⊥AD，AB∩AD=A，
∴AB⊥平面SAD，DM⊂平面SAD，
∴DM⊥AB，又AB∩AS=A，
∴DM⊥平面SAB；
（2）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴建立空间直角坐标系，
∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD=1，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），
∵M为棱SA的中点，
∴M（
∴
cosθ=
∴|cosθ|=
∴异面直线DM与SC所成角为
解析
解：（1）连接BD，则BD=
∵SB=
∴△SDA为等腰直角三角形，又M为棱SA的中点，
∴DM⊥SA；
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥AB，又AB⊥AD，AB∩AD=A，
∴AB⊥平面SAD，DM⊂平面SAD，
∴DM⊥AB，又AB∩AS=A，
∴DM⊥平面SAB；
（2）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴建立空间直角坐标系，
∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD=1，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），
∵M为棱SA的中点，
∴M（
∴
cosθ=
∴|cosθ|=
∴异面直线DM与SC所成角为
已知不重合的直线a，b和平面α，β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的（ ）
正确答案
解析
解：∵a⊥α，α⊥β
∴a∥β或a⊂β
又∵b⊥β，a⊄β
∴a⊥b
反之a⊥b则α⊥β也成立，
故选C．
如图1，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥DB，其中三棱锥P-BCD的三视图如图2所示，且sin∠BDC=
（I）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若AD=6，求四棱锥P-ABCD的体积．
正确答案
（Ⅰ）证明：由三视图得PD⊥平面ABCD，
∵AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PD，
又AD⊥DB，且PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
∴AD⊥PD，又AD⊥DB，且PD∩BD=D，
PD、BD⊂平面PBD，
∴AD⊥平面PBD，
又PB⊂平面PBD，
∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：由三视图可知PD=4，DC=3，BD=3，
若sin∠BDC=
∵AD⊥DB，
∴三角形ADB的面积S=
则四棱锥的底面积S=9+
则四棱锥P-ABCD的体积V=
解析
（Ⅰ）证明：由三视图得PD⊥平面ABCD，
∵AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PD，
又AD⊥DB，且PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
∴AD⊥PD，又AD⊥DB，且PD∩BD=D，
PD、BD⊂平面PBD，
∴AD⊥平面PBD，
又PB⊂平面PBD，
∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：由三视图可知PD=4，DC=3，BD=3，
若sin∠BDC=
∵AD⊥DB，
∴三角形ADB的面积S=
则四棱锥的底面积S=9+
则四棱锥P-ABCD的体积V=
（文）已知：a∥b，a⊥α，求证：b⊥α．
正确答案
证明：α内任取一直线m，a⊥α，a⊥m，即a，m成直角．
∵a∥b，∴b，m成直角，∴b⊥m，
由m的任意性得b⊥α．
解析
证明：α内任取一直线m，a⊥α，a⊥m，即a，m成直角．
∵a∥b，∴b，m成直角，∴b⊥m，
由m的任意性得b⊥α．
下列命题中，其中不正确的个数是（ ）
①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相互平行
②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行
③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ
④一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β
⑤过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，则点O是△ABC的内心
⑥垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
正确答案
解析
解：①如正方体从一个定点出发的三条棱，两两互相垂直，故①②错；
③设α∩γ=a，β∩γ=b，在平面γ内作直线c⊥a，d⊥b，c∩d=O
∵平面α⊥平面γ，∴c⊥α，∵l⊂α，∴c⊥l，同理可证d⊥l
即l垂直于平面γ内的两条相交直线，∴l⊥γ，③正确；
④依据面面平行的判定定理，一个平面α内两条相交的直线都平行于另一平面β，则α∥β，可判断④正确；
⑤∵PA=PB=PC，∴它们在平面ABC内的射影OA=OB=OC，从而点O为三角形ABC的外心，⑤错；
⑥垂直于同一条直线的两个平面，即两平面的法向量共线，故两平面平行，⑥正确；
故正确命题有③④⑥三个
故选 C
扫码查看完整答案与解析