热门试卷

解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，

∴A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，

∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F⊆平面A′EF．

∴A′D⊥平面A′EF．

又∵EF⊂平面A′EF，

∴A′D⊥EF．

（2）∵A′F=A′E=1，EF=∴A′F2+A′E2=2=EF2，可得A′E⊥A′F，

∴△A′EF的面积为=，

∵A′D⊥平面A′EF．

∴A′D是三棱锥D-A′EF的底面A′EF上的高线，

故三棱锥A1-DEF的体积为：V=××2=

证明：（1）由正方体可得，∴四边形ACC′A′是平行四边形，∴A′C′∥AC．

∵AC⊂ABCD，A′C′⊄平面ABCD．

∴A′C′∥平面ABCD；

（2）由正方体的性质可得BB′⊥平面ABCD，

∴BB′⊥AC．

由正方形ABCD可得AC⊥BD，

∵BD∩BB′=B．

∴AC⊥平面BB′D′D．

（3）由（2）可得：AC⊥平面BB′D′D，

∴AC⊥B′H．

又B′H⊥D′O．AC∩OD′=O，

∴B′H⊥平面AD′C．

证明：（1）取AB中点E，连结CE，A1B，A1E，

∵AB=AA1，∠BAA1=60°，∴△BAA1=60°是正三角形，

∴A1E⊥AB，

∵CA=CB，∴CE⊥AB，

∵CE∩A1E=E，

∴AB⊥面CEA1，又∵A1C在平面CEA1内

∴AB⊥A1C．…（6分）

（2）在BB1上取点H，使BH=2HB1，连接HN，HM，

则HM∩MN=M，MH不在平面A1BC内．

∵A1M=2MB1，∴MH∥A1B．

∴MH∥平面A1BC．…（8分）

又∵MN∥平面A1BC，MN、MH均在平面MNH内，

∴平面MNH∥平面A1BC．…（10分）

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C∩平面MNH=NH，

侧面BB1C1C∩平面ABC=BC，

∴NH∥BC．…（12分）

再结合三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱CC1∥BB1，可得四边形BHNC为平行四边形，进而BH=CN．

又∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱CC1=BB1，

∴HB1=NC1．∴CN=2NC1．…（14分）

证明：假设过一点有至少两个平面α，β与已知直线垂直，则α∥β，

这与假设矛盾，故假设不成立，

∴过空间内一点有且只有一个平面与已知直线垂直．