- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
垂直于同一平面的两条直线一定（ ）
正确答案
解析
解：设直线a、b都与平面α垂直，可以用反证法证明a、b必定是平行直线
假设a、b不平行，过直线b与平面α的交点作直线d，使d∥a
∴直线d与直线b是相交直线，设它们确定平面β，且β∩α=c
∵b⊥α，c⊂α，∴b⊥c．同理可得a⊥c，
又∵d∥a，∴d⊥c
这样经过一点作出两条直线b、d都与直线c垂直，这是不可能的
∴假设不成立，故原命题是真命题
故选A
（1）求证：AC⊥DE；
（2）若BE：EP=1：2，求三棱锥O-BCE的体积；
（3）是否存在点E，使△ACE的面积最小？若存在，试求出△ACE面积最小值及对应线段BE的长；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD结合PD与DB相交
∴AC⊥平面PDB
∵DE⊂平面PDB
∴AC⊥DE…4′
（2）即求三棱锥E-OBC的体积，
由BE：EP=1：2及PD=8，
得：E到平面ABCD的距离为
又四边形ABCD为菱形，AC=6，BD=8，
∴S△OBC=
∴
（3）连接OE，由（1）得AC⊥平面PDB，而OE⊂平面PDB
∴OE⊥AC，OE是三角形ACE的边AC上的高
∴S△ACE=
因为点E在线段PB上运动，所以当OE⊥PB时，△ACE的面积最小，
此时Rt△OEB是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴OE=
所以存在点E使△ACE的面积最小，且△ACE面积最小值为
解析
解：（1）
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD结合PD与DB相交
∴AC⊥平面PDB
∵DE⊂平面PDB
∴AC⊥DE…4′
（2）即求三棱锥E-OBC的体积，
由BE：EP=1：2及PD=8，
得：E到平面ABCD的距离为
又四边形ABCD为菱形，AC=6，BD=8，
∴S△OBC=
∴
（3）连接OE，由（1）得AC⊥平面PDB，而OE⊂平面PDB
∴OE⊥AC，OE是三角形ACE的边AC上的高
∴S△ACE=
因为点E在线段PB上运动，所以当OE⊥PB时，△ACE的面积最小，
此时Rt△OEB是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴OE=
所以存在点E使△ACE的面积最小，且△ACE面积最小值为
经过平面a外一点和平面a内一点与平面a垂直的平面有 ______个．
正确答案
1个或无数
解析
解：①当平面外的点E（假设的）与平面内的点F（假设）的连线垂直于平面a的时候有无数个，
因为只要是经过这两点的平面都与平面a垂直．
②当EF不垂直于平面a时，过E点作平面a的垂线EG，
由EF及EF确定的平面就是我们要找的平面，该情形时的答案只有一个平面．
故答案为：1个或无数
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）当x变化时，求三棱锥D-BCF的体积f（x）的函数式．
正确答案
解：（1）证明：作DH⊥EF，垂足H，连结BH，GH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，DH⊂平面AEFD，
∴DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF，故EG⊥DH．
∵
∴四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH．
又BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．
又BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD．
（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，AE⊂平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，
∴四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三
棱锥D-BCF的高DH=AE=x．
又
∴三棱锥D-BCF的体积f（x）=
解析
解：（1）证明：作DH⊥EF，垂足H，连结BH，GH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，DH⊂平面AEFD，
∴DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF，故EG⊥DH．
∵
∴四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH．
又BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．
又BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD．
（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，AE⊂平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，
∴四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三
棱锥D-BCF的高DH=AE=x．
又
∴三棱锥D-BCF的体积f（x）=
已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2
正确答案
解析
解：依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．
∵ABCD是边长为2
∴PC2=AP2+AC2=24+24=48，
∴2R=4
∴△OAB为边长是2
∴S△OAB=
=3
故答案为：3
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