热门试卷

证明：（1）∵BC是半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点AC

∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB

∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，AB⊂平面ABC

∴由两个平面垂直的性质得，AB⊥平面ACDE；

（2）如图，设OF∩AC=M，连接DM，OA

∵F为弧AC的中点，

∴M为AC的中点．

∵AC=2DE，DE∥AC

∴DE∥AM，DE=AM

∴四边形AMDE为平行四边形．

∴DM∥AE

∵DM⊄平面ABE，AE⊂平面ABE

∴DM∥平面ABE

∵O为BC中点

∴OM为三角形ABC的中位线

∴OM∥AB

∵OM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE

∴OM∥平面ABE

∵OM⊂平面OFD，DM⊂平面OFD，OM∩DM=M

∴由两个平面平行的判定定理可知，平面OFD∥平面ABE，

∵BE⊂平面ABE，

∴直线BE∥平面DOF．

证明：（Ⅰ）由已知得到BF=BM=F=，∴∠BFC=60°，由余弦定理得到BC=，∴BC2+BF2=FC2，∴BC⊥FB，

又AB⊥BC，∴BC⊥平面ABFE；

（Ⅱ）连接DF，∵M，N是FC，CD的中点，∴MN∥DF，

∵DE∥FC，AE∥FB，

∴平面AED∥平面BFM，并且，∠A=∠B=90°，EF∥AB，

∴几何体AED-BFM是正三棱柱，∴AB∥DM∴AD∥BM，

∴平面ADF∥平面BMN．

又AF⊂平面ADF，

∴AF∥平面BMN．

解：（1）证明：矩形ABPD中，点C为BP的中点，AD=2，AB=1，

∴AC=DC=，

∴AC2+CD2=AD2，

∴AC⊥CD；

又∠AP′D=90°，∴P′D⊥AP′，

又P′D⊥P′C，且P′C∩P′A=P′，

AP′⊂平面ACP′，P′C⊂平面ACP′，

∴P′D⊥平面ACP′；

又AC⊂平面ACP′，

∴P′D⊥AC；

又P′D∩CD=D，P′D⊂平面P′CD，CD⊂平面P′CD，

∴AC⊥平面P′CD；

（2）如图所示，

由（1）知，AC⊥平面CP′D，

AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面CP′D；

取CD的中点G，连接P′G，

则P′G⊥CD，

又平面ACD∩平面CP′D=CD，

P′G⊂平面CP′D，

∴P′G⊥平面ACD；

∴P′G==，；

设CH⊥平面AP′D，垂足为H，连接DH，则∠CDH为直线CD与平面AP′D所成的角，

由三棱锥的体积相等，得出

S△AP′D•CH=S△ACD•P′G，

即•1••CH=•••，

解得CH=；

∴sin∠CDH===，

即CD与平面AP′D所成角的正弦值为．

证明：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影．

∵AC⊥BD．∴A1C⊥BD．

同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，

∴A1C⊥平面BDC1．

（Ⅱ）取EF的中点H，连接BH、CH，

∵，∴BH⊥EF．

同理CH⊥EF．

∴∠BHC是二面角B-EF-C的平面角．

又E、F分别是AC、B1C的中点，∴．

∴△BEF与△CEF是两个全等的正三角形．

故BH=CH=．

于是在△BCH中，由余弦定理，得cos∠BHC=

∴．

故二面角B-EF-C的大小为π-arccos．