热门试卷

证明：∵E、F分别是DC、CC1中点，ABCD-A1B1C1D1为正方体

∴DE=CF，DD1=CC1，∠D1DE=∠DCC1=90°

∴△DD1E≌△CDF，∴∠FDC=∠DD1E

∴∠DD1E+∠D1ED=90°

∴∠CDF+∠D1ED=90°

∴D1E⊥DF

∵AD⊥面DCC1D1，D1E⊂面DCC1D1，

∴AD⊥D1E

∵AD∩DF=D，

∴D1E⊥面ADF

（1）证明：∵正方形ACEF，∴AF⊥AC，

又∵面ABCD⊥面ACEF，且面ABCD∩面ACEF=AC，

∴AF⊥平面ABCD，即AF⊥BD，

又AC⊥BD，AC∩AF=A，

∴BD⊥平面ACEF；

（2）解：设AC∩BD=O，并连接OE，

则由（1）知，∠OED为直线DE与平面ACEF所成角

设正方形ABCD的边长为2，则OC=OD=，CE=AC=2，DE==2

∴sin∠OED==

∴直线DE与平面ACEF所成角的正弦值为．

解：（1）证明：PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．

又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．

（2）证明：PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC，

由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．

（3）过点A作AF⊥PD，垂足为F，连接EF．

由（2）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角．

设AC=a，则，，，

从而，故 ．

（1）证明：如图，

因为侧面PCD⊥底面ABCD，取DC中点O，

因为PC=PD=2，则PO⊥交线CD，所以PO⊥底面ABCD，

如图，以OC，OP所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，），

N（1，-1，0），

，

则，所以BC⊥PD；

（2）解：

设异面直线BM与PN所成角为θ，

则．

所以异面直线BM与PN所成角的余弦值为；

（3）解：因为．

设平面MBD的一个法向量为=（x，y，z），

由，得，取y=-1，得x=1，z=-．

所以，又，

所以点N到平面MBD的距离d=．