热门试卷

证明：（1）取AD的中点为H，连接BH，PH

∵PA=PD，∴PH⊥AD

在菱形ABCD中，∠DAB=60°，得BH⊥AD

∵PH⊂面PBH，BH⊂面PBH，PH∩BH=H，

∴AD⊥面PBH

∵PB⊂面PBH，∴PB⊥AD；

（2）连AC，设AC与BD交点为O，连OE

在平行四边形ABCD中，O是AC的中点，点E是PC的中点，所以OE∥AP

因为AP⊄面BDE，OE⊂面BDE，所以AP∥面BDE

因为AP⊂面APFG，面APFG∩面BDE=FG

所以AP∥FG

（1）证明：连接A1C1，因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以A1C1⊥B1D1，

又A1C1是AC1在底面A1B1C1D1内的射影，因此B1D1⊥AC1，（2分）

同理，BC1是AC1在平面BCC1B1内的射影，

因为B1E⊥BC1，所以B1E⊥AC1，

又B1D1∩B1E=B1，所以AC1⊥平面B1D1E（3分）

（2）解：存在实数λ，使得平面AD1E⊥平面B1D1E，证明如下：

因为，所以，因为，

不妨设AB=1，则AA1=2，以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴建立坐标系，

则，（2分）

设平面AD1E的一个法向量为n1，由得一个，

同理得平面D1B1E的一个法向量，（3分）

令n1•n2=0，即，

解得λ=1，

所以存在实数λ=1，使得平面AD1E⊥平面B1D1E（2分）

解：（Ⅰ）取EP的中点D，连接FD、C1D、C1F．

∵BC=3，CP=1，∴折起后C1为B1P的中点．

∴在△B1EP中，DC1∥EB1，…（1分）

又∵AB=BC=AC=3，AE=CP=1，

∴，∴EP=2且EP∥GF．…（2分）

∵G，F为AC的三等分点，∴GF=1．

又∵，∴GF=ED，…（3分）

∴四边形GEDF为平行四边形．

∴FD∥GE．…（4分）

又∵DC1∩FD=D，GE∩B1E=E，

∴平面DFC1∥平面B1GE．…（5分）

又∵C1F⊂平面DFC1

∴C1F∥平面B1GE．…（6分）

（Ⅱ）连接EF，B1F，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，

由余弦定理，得EF2=12+22-2×1×2×cos60°=3

∴FP2+EF2=EP2，可得PF⊥EF．…（8分）

∵B1C1=PC1=1，C1F=1，得FC1=B1C1=PC1，

∴△PB1F的中线C1F=PB1，可得△PB1F是直角三角形，即B1F⊥PF．…（10分）

∵EF∩B1F=F，EF、B1F⊂平面B1EF

∴PF⊥平面B1EF．…（12分）