热门试卷

解：（ I）证明：∵ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，

∴D1D⊥平面ABCD，

∴BC⊥D1D．

∵AB∥CD，AB⊥AD．

∴四边形ABCD为直角梯形，

又∵AB=AD=1，CD=2，BD=，取DC中点E，连接BE．BE=1，BE=1，

∴

∴BC⊥DB．

∵D1D∩DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．（4分）

（II）取DC中点E，连接BE，D1E．

∵DB=BC，

∴BE⊥CD．

∵ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，

∴ABCD⊥D1DCC1．

∴BE⊥D1DCC1．

∴D1E为D1B在平面D1DCC1上的射影，

∴∠BD1E为所求角．

在Rt△D1BE中，．．

∴所求角为．（9分）

（Ⅲ）假设B1B存在点F，设BF=x，

∵，BC⊥平面D1BF，

∴．

∵，

∴．

又，

∴．

即存在点F为B1B的中点．（14分）

（I）证明：连接AH，则

∵N，H分别为PC、PD的中点，

∴NH∥CD，且NH=CD

∵AB∥CD，AB=CD

∴NH∥AB，且NH=AB

∵M为AB的中点

∴NH∥AM，且NH=AM

∴四边形AHNM是平行四边形

∴MN∥AH

∵MN⊄平面PAB，AH⊂平面PAB

∴NH∥平面PAB；

（II）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD

∴CD⊥AD，CD⊥PA

∵AD∩PA=A

∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AH

∵PA=AD，H为PD的中点，

∴AH⊥PD

∵CD∩PD=D

∴AH⊥平面PCD

∵MN∥AH

∴MN⊥平面PCD；

（III）解：过H作HE⊥平面ANCD，则HE=

∵NH∥AB，NH⊄c，AB⊂平面ABCD

∴NH∥平面ABCD

∴N到平面DMN的距离为

∴三棱锥C-DMN的体积为=．

解：（1）∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1

∴．

∴AD=CD=AC=2…（2分）

∵PA=PC，∴PF⊥AC．…（4分）

∵点E为点P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC∴PE⊥AC…（6分）

∵PF∩PE=P．PF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，∴AC⊥平面PEF…（7分）

（2）∵PE⊥平面ABC∴PE⊥BC…（8分）

∵BC⊥AB，PE∩AB=E，PE⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．…（10分）

在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，∴．…（12分）

∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．

∴直线PC与平面PAB所成的角为 30°…（14分）

解：（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．

则D（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0），B1（2，2，2），D1（0，0，2）

∴，，．

∵

又AC与AD1交于A点，

∴B1D⊥平面D1AC．（4分）

（Ⅱ）设A1D与D1O所成的角为θ．D1（0，0，2），O（1，1，0），A1（2，0，2）．

∴，．

∴．

所求异面直线A1D与D1O所成角的余弦值为．（9分）

（Ⅲ）设平面AEC与直线D1O所成的角为ϕ．

设平面AEC的法向量为n=（x，y，z）．，C（0，2，0），A（2，0，0），，．

令z=1，则∴．

∴．

所求平面AEC与直线D1O所成角的正弦值为．（14分）