共线向量与共面向量
共82题

· 共线向量与共面向量

共线向量与共面向量
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题型：单选题

单选题

已知是平面α的法向量，是直线l的方向向量，则正确一个结论是（　　）

A若l⊥α，则

B若l∥α，则

C若，则l⊥α

D若，则l⊥α

正确答案

解析

解：设m为平面α内的任一向量，其方向向量为，

由是平面α的法向量知，，即=0，

若，则=0，，所以l⊥m，

由线面垂直的定义知，l⊥α，

故选C．

题型：单选题

单选题

（2015秋•陕西校级期末）以下四组向量中，互相平行的有（　　）组．

（1）=（1，2，1），=（1，-2，3）；

（2）=（8，4，-6），=（4，2，-3）；

（3）=（0，1，-1），=（0，-3，3）；

（4）=（-3，2，0），=（4，-3，3）．

A一

B二

C三

D四

正确答案

解析

解：若与平行，则存在实数λ使得．

经过验证：只有（2）=2，（3），两组满足条件．

故选：B．

题型：单选题

单选题

若=（1，2，λ），=（1，0，0），=（0，1，0），且，，共面，则λ=（　　）

B-1

D±1

正确答案

解析

解：由，，共面，根据平面向量基本定理可得：

存在实数m，n，使得=m（1，2，λ）+n（1，0，0）=（0，1，0）．

∴，解得，λ=0，．

故答案为：C．

题型：简答题

简答题

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

正确答案

解：（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，

则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面

⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1+y1

=+x1（-）+y1（-）

=（1-x1-y1）+x1+y1，

取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，

则有=x+y+z，且x+y+z=1．

（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

所以x=1-y-z得=（1-y-z）+y+z．

=+y+z，即：，

所以四点A、B、C、D共面．

所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

解析

解：（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，

则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面

⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1+y1

=+x1（-）+y1（-）

=（1-x1-y1）+x1+y1，

取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，

则有=x+y+z，且x+y+z=1．

（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

所以x=1-y-z得=（1-y-z）+y+z．

=+y+z，即：，

所以四点A、B、C、D共面．

所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

题型：单选题

单选题

已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则p+q=（　　）

正确答案

解析

解：∵A、B、C三点共线，

∴存在实数λ使得，

∴（p-1，-2，q+4）=λ（1，-1，3），

∴，解得λ=2，p=3，q=2，

∴p+q=5．

故选：D．

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