共线向量与共面向量
共82题

· 共线向量与共面向量

共线向量与共面向量
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题型：简答题

简答题

已知=(2，-1，3)，=(-4，2，x)，=(1，-x，2)，

（1）若∥，求x的值；

（2）若(+)⊥，求x的值．

正确答案

（1）∵∥，∴存在实数λ使=λ即-4=2λ，2=-λ，x=3λ，∴λ=-2，x=-6．

（2）+=(2-4，-1+2，3+x)=(-2，1，3+x)，

又∵(+)⊥，∴（-2）•1+1•（-x）+（3+x）•2=0，∴x=-4．

题型：简答题

简答题

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

正确答案

（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，

则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面

⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1+y1

=+x1（-）+y1（-）

=（1-x1-y1）+x1+y1，

取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，

则有=x+y+z，且x+y+z=1．

（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

所以x=1-y-z得=（1-y-z）+y+z．

=+y+z，即：=y+z，

所以四点A、B、C、D共面．

所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

题型：填空题

填空题

已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=++λ确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．

正确答案

由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，

若由向量=++λ确定的点P与A，B，C共面，

∴++λ=1

解得λ=

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C三点共线，则p=______，q=______．

正确答案

∵A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），

∴=（1，-1，3），=（p-1，-2，q+4）

∵A，B，C三点共线，

∴=λ

∴（1，-1，3）=λ（p-1，-2，q+4），

∴1=λ（p-1）

-1=-2λ，

3=λ（q+4），

∴λ=，p=3，q=2，

故答案为：3；2

题型：填空题

填空题

已知={3λ，6，λ+6}，={λ+1，3，2λ}，若∥，则λ=______．

正确答案

∵已知={3λ，6，λ+6}，={λ+1，3，2λ}，

且向量 ∥，由中间的坐标的关系可知

得到 =2，

∴3λ=2（λ+1），

∴λ=2

故答案为：2．

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