共线向量与共面向量
共82题

· 共线向量与共面向量

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题型：填空题

填空题

向量与=（2，-1，2）共线，且•=-18，则的坐标为______．

正确答案

因为向量与=（2，-1，2）共线，所以设=m，

因为且•=-18，所以m

2=-18，

因为||==3，

所以m=-2．

所以=m=-2（2，-1，2）=（-4，2，-4）．

故答案为：（-4，2，-4）．

题型：简答题

简答题

已知斜三棱柱ABC-A′B′C′，设=，=，=，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使=k，=k（0≤k≤1），求证：三向量、、共面．

正确答案

如图所示：

∵=+=+k

=+k（-）

=+k(-)

=(1-k)+k．

=k=k（+）=k+k，

∴=-=(1-k)-k．

又∵向量和不共线，∴、、共面．

题型：填空题

填空题

（理）已知向量=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，0，λ），若、、三个向量共面，则实数λ=______．

正确答案

∵向量=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，0，λ），

三个向量共面，

∴=x+y

∴（2，-1，3）=x（-1，4，-2）+y（7，0，λ），

∴2=-x+7y ①

-1=4x ②

3=-2x+λy ③

由②得x=-，

代入①得y=，

把x，y的值代入③得λ=10

故答案为：10．

题型：填空题

填空题

已知A（1，5，-2）、B（2，4，1）、C（p，3，q+2）三点共线，则p+q=______．

正确答案

∵A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），

∴=（1，-1，3），=（p-1，-2，q+4）

∵A，B，C三点共线，

∴=λ

∴（1，-1，3）=λ（p-1，-2，q+4），

∴1=λ（p-1）

-1=-2λ，

3=λ（q+4），

∴λ=，p=3，q=2，则p+q=5

故答案为：5

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设=，=．

（Ⅰ）求和的夹角θ的余弦值；

（Ⅱ）若向量k+与k-2互相垂直，求实数k的值；

（Ⅲ）若向量λ-与-λ共线，求实数λ的值．

正确答案

==(1，1，0)，==(-1，0，2)．

（Ⅰ）cosθ===-，

∴和的夹角θ的余弦值为-．

（Ⅱ） k+=(k-1，k，2)，k-2=(k+2，k，-4)

∵向量k+与k-2互相垂直，

∴(k+)•(k-2)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0

∴k=-，或k=2．

（Ⅲ） λ-=(λ+1，λ，-2)，-λ=(1+λ，1，-2λ)

∵向量λ-与-λ共线，∴存在实数μ，使得λ-=μ(-λ)

即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴

∴λ=1，或λ=-1．

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