热门试卷

解：（1）由Sn=2n-an（n∈N*），

可得a1=S1=2-a1，可得a1=1，

a2=S2-S1=4-a2-1，可得a2=，

a3=S3-S2=6-a3-，可得a3=，

a4=S4-S3=8-a4-，可得a4=，

猜想得到an=，

由数学归纳法可得．

当n=1时，a1=1，=1，成立；

设n=k时，ak=成立，

当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=2（k+1）-ak+1-2k+ak，

可得ak+1=（2+ak）=（2+）=，

即有n=k+1也成立．

综上可得an=，对n为一切非零自然数成立．

（2）证明：bn=2n-1an=2n-1，

即证1++++…+＜．

由＜-，

等价于：2k+1-2＜2k+1-1；

所以：①当n=1时，原不等式成立，

②当n≥2时，1+++…+≤1+（-）+（-）+…+（-）

=1+-=-＜．

即有不等式成立．

证明：（I）由（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0，

即有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0，

即为a2+b2+c2≥ab+bc+ca；

（II）由a＞0，b＞0，且a+b=1，

可得=4，

当且仅当a=b=，取得等号．

证明：由柯西不等式可得，

（2++）2≤（22+12+12）（x+1+2x-3+6-3x）

=6×4，

即有2++≤2＜8．

则≤x≤2时，不等式2++＜8．

证明：（1）+=+++=（+）+（+）≥2+2=4（当且仅当a=b，c=d时，取“=”），故+≥4．

（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，

∴++≤++=3（当且仅当a=b=c=时等号成立）．

证明：（1）假设、、可能成等差数列．…（2分）

则，

两边平方，得20=10+2，…（5分）

即，

则25=21，显然等式不成立．…（8分）

故、、不可能成等差数列．…（10分）

（2）要证|ax+by|≤1

需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1．…（14分）

∵x2+y2=1，a2+b2=1∴1=（x2+y2）（a2+b2）=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…（19分）

故|ax+by|≤1．…（20分）

解：（Ⅰ）由于a+b=2，

则=（）（1+a+1+b）

=（5++）≥（5+2）=

等号成立条件为=，而a+b=2，所以a=，b=，

因此当a=，b=时，+取得最小值，且为；

（Ⅱ）证明：由均值不等式得a2b2+a2≥2a2b，a2b2+b2≥2b2a，a2+b2≥2ab

三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab（a+b+1），

所以a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．

解：由对数函数的定义域得x＞0，所以原不等式可化为|x+log3x|＜x+|log3x|

①当log3x≥0时，x+log3x＜x+log3x不成立

②当log3x＜0时，|x+log3x|＜x-log3x

此不等式等价于即；

∴0＜x＜1

故原不等式的解集为{x|0＜x＜1}