热门试卷

证明：构造函数y=lnx，

则y′=，（）′=-＜0，

即有函数y=lnx在（0，+∞）上是递增且上凸的函数，

由m，n＞0，且+=1，

则lnn+lnm≤ln（•n+•m）

=ln，

而-==≥0，

即有ln≤ln，

则有lnn+lnm≤ln，

即有≥成立．

证明：∵n＜＜n+1，

∴1+2+…+n＜+++…+＜2+3+…+n+1，

∴＜+++…+＜＜（n+1）3．

∴＜an＜（n+1）3．

解：（1）由Sn=2n-an（n∈N*），

可得a1=S1=2-a1，可得a1=1，

a2=S2-S1=4-a2-1，可得a2=，

a3=S3-S2=6-a3-，可得a3=，

a4=S4-S3=8-a4-，可得a4=，

猜想得到an=，

由数学归纳法可得．

当n=1时，a1=1，=1，成立；

设n=k时，ak=成立，

当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=2（k+1）-ak+1-2k+ak，

可得ak+1=（2+ak）=（2+）=，

即有n=k+1也成立．

综上可得an=，对n为一切非零自然数成立．

（2）证明：bn=2n-1an=2n-1，

即证1++++…+＜．

由＜-，

等价于：2k+1-2＜2k+1-1；

所以：①当n=1时，原不等式成立，

②当n≥2时，1+++…+≤1+（-）+（-）+…+（-）

=1+-=-＜．

即有不等式成立．

证明：（I）由（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0，

即有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0，

即为a2+b2+c2≥ab+bc+ca；

（II）由a＞0，b＞0，且a+b=1，

可得=4，

当且仅当a=b=，取得等号．

证明：因为a＞b＞0，要证，

只需证明．…..…．（4分）

即证．…（7分）

即证，即．

由已知，显然成立．…..（10分）

故成立．…．（12分）

证明：（Ⅰ）∵a+b=1，

∴ab≤=，

∴≥4，∴++=+=≥8；

（Ⅱ）（1+）（1+）=+++1

由（Ⅰ）可知++≥8

∴+++1≥9，

∴（1+）（1+）≥9．

证明：由柯西不等式可得，

（2++）2≤（22+12+12）（x+1+2x-3+6-3x）

=6×4，

即有2++≤2＜8．

则≤x≤2时，不等式2++＜8．

证明：（1）+=+++=（+）+（+）≥2+2=4（当且仅当a=b，c=d时，取“=”），故+≥4．

（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，

∴++≤++=3（当且仅当a=b=c=时等号成立）．

证明：（1）假设、、可能成等差数列．…（2分）

则，

两边平方，得20=10+2，…（5分）

即，

则25=21，显然等式不成立．…（8分）

故、、不可能成等差数列．…（10分）

（2）要证|ax+by|≤1

需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1．…（14分）

∵x2+y2=1，a2+b2=1∴1=（x2+y2）（a2+b2）=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…（19分）

故|ax+by|≤1．…（20分）

解：（Ⅰ）f2（x）=1-x+-，则f2′（x）=-1+x-x2=-（x-）2-＜0

∴函数f2（x）在R上单调减

∵f2（1）＞0，f2（2）＜0

∴f2（x）=0的实数解的个数是1个；

（Ⅱ）fn（x）=0的实数解的个数是1个

求导函数可得fn′（x）=-1+x-x2+…+x2n-3-x2n-2．

（1）若x=-1，则fn′（x）=-（2n-1）＜0．

（2）若x=0，则fn′（x）=-1＜0．

（3）若x≠-1，且x≠0时，则fn′（x）=-．

①当x＜-1时，x+1＜0，x2n-1+1＜0，∴fn′（x）＜0．

②当x＞-1时，fn′（x）＜0

综合（1），（2），（3），得fn′（x）＜0，

即fn（x）在R单调递减．

又fn（0）=1＞0，fn（2）=（1-2）+（）+…+（-）＜0

所以fn（x）在（0，2）有唯一实数解，从而fn（x）在R有唯一实数解．

综上，fn（x）=0有唯一实数解．

证明：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，要证 ，

只要证   3a3+3b3+3c3-a2-b2-c2≥0，

只要证   2（a3+b3+c3 ）+a2（a-1）+b2（b-1）+c2（c-1）≥0，

只要证   2（a3+b3+c3 ）+a2（-b-c）+b2（-a-c）+c2（-a-b）≥0，

只要证   a3+b3+c3+a3+b3+c3-a2b-a2c-b2a-b2c-c2a-c2b≥0，

只要证   a2 （a-b）+a2（a-c）+b2（b-a）+b2（b-c）+c2（c-a）+c2（c-b）≥0，

只要证   （a-b）（a2-b2）+（b-c） （b2-c2）+（c-a）（c2-a2）≥0，

只要证   （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0，

而由题意可知  （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0  成立，故要证的不等式成立．

证明：∵a＞b＞c＞0，要证，

只要证 （a-b）+（b-c）+c+++≥6  ①．

由于不等式的左边这6项全部都是正实数，且这6项的积等于定值1，故这6个正数的几何平均数等于1，

由6个正数的算术平均数大于或等于这6个正数的几何平均数可得 ≥1，

故①成立，故原不等式成立．

解：（Ⅰ）由于a+b=2，

则=（）（1+a+1+b）

=（5++）≥（5+2）=

等号成立条件为=，而a+b=2，所以a=，b=，

因此当a=，b=时，+取得最小值，且为；

（Ⅱ）证明：由均值不等式得a2b2+a2≥2a2b，a2b2+b2≥2b2a，a2+b2≥2ab

三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab（a+b+1），

所以a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．