- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由于|x-5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和-3对应点的距离之和，其最小值为8，
再由关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，
故选：A．
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|，
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x-1|+|x+1|≥3
据绝对值几何意义求解，|x-1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，-1表示的点距离之和不小3，
由于数轴上数-
所以所求不等式解集为（-∞，-
（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）
解析
解：（1）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x-1|+|x+1|≥3
据绝对值几何意义求解，|x-1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，-1表示的点距离之和不小3，
由于数轴上数-
所以所求不等式解集为（-∞，-
（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）
若不等式（lgx）2＜|lgx|＜|logx10|成立，则实数x的一个取值区间为（ ）
A（
B（1，100）
C（
D（0，10）
正确答案
解析
解：∵不等式（lgx）2＜|lgx|＜|logx10|成立，∴-1＜lgx＜1，
解得 
故选C．
已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
正确答案
解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x-2|＞5，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（3，+∞）；
（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x-2|-m）≥1．
即|x+1|+|x-2|≥m+2，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|≥m+2解集是R，
∴m+2≤3，m的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．
解析
解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x-2|＞5，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（3，+∞）；
（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x-2|-m）≥1．
即|x+1|+|x-2|≥m+2，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|≥m+2解集是R，
∴m+2≤3，m的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．
关于x的不等式|x|-|x-1|≤a在R上恒成立（a是常数），则实数a的取值范围是______．
正确答案
a≥1
解析
解：令函数g（x）=|x|-|x-1|．
当x＞1时，g（x）=x-（x-1）=1．
当x＜0时，g（x）=-x-（1-x）=-1
当0≤x≤1时，g（x）=x-（1-x）=2x-1，-1≤g（x）=2x-1≤1．
故-1≤g（x）≤1．要使关于x的不等式g（x）≤a恒成立．故a≥1．
故答案为a≥1．
如果关于x的不等式|x-1|+|x+2|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（3，+∞）
解析
解：|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，其最小值为3，故当a＞3时，关于x的不等式|x-1|+|x+2|＜a的解集不是空集，
故实数a的取值范围为（3，+∞），
故答案为 （3，+∞）．
（2011年高考山东卷）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（ ）
正确答案
解析
∴x≤-4，此时不等式的解集为{x|x≤-4}．
当-3＜x≤5时，原不等式可化为5-x+x+3≥10，此时无解．
当x＞5时，原不等式可化为x-5+x+3≥10，解得x≥6，此时不等式的解集为{x|x≥6}．
综上可知，原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥6}，
故选D．
方法二：由绝对值的几何意义可知，|x-5|+|x+3|表示数轴上的点x到点-3和5两点的距离之和，
又点-4和6到点-3和5的距离之和都为10，
如图，故满足|x-5|+|x+3|≥10的解集为（-∞，-4]∪[6，+∞）．
故选D．
定义max{a，b，c}为a、b、c中的最大者，令M=max{|1+a+2b|，|1+a-2b|，|2+b|}，则对任意实数a，b，M的最小值是（ ）
A1
B
C
D2
正确答案
解析
解：由题意，M≥=|1+a+2b|=|-1-a-2b|，M≥|1+a-2b|，4M≥4|2+b|
∴6M≥|-1-a-2b|+|1+a-2b|+4|2+b|≥|-（1+a-2b）+（1+a-2b）+4（2+b）|=8
∴M≥
M的最小值是
故选B
不等式|x|•（x-1）＜0的解集是______．
正确答案
{x|x＜1且x≠0}
解析
解：由不等式|x|•（x-1）＜0 可得 x≠0 且 x-1＜0，
解得 x＜1且x≠0，
故答案为 {x|x＜1且x≠0}．
（2015秋•菏泽期末）已知f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两个点，那么|f（x+1）|＜1的解集是______．
正确答案
（-1，2）
解析
解：由题意知，当0≤x≤3时，-1≤f（x）≤1，
即|f（x）|≤1时，0≤x≤3，
所以|f（x+1）|＜1⇒0＜x+1＜3，
所以-1＜x＜2，
故答案为：（-1，2）
（不等式选讲）
设函数f（x）=|x+3|-|x-4|
①解不等式f（x）＞3；
②求函数f（x）的最小值．
正确答案
解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点
的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，
故不等式的解集为{x|x＞2}． …（3分）
②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，
可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）
解析
解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点
的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，
故不等式的解集为{x|x＞2}． …（3分）
②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，
可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）
已知函数f（x）=
正确答案
解析
当x≤0时，|f（x）|=x2-2x，函数|f（x）|在原点处的导数值为（2x-2）|x=0=-2；
当x＞0时，函数|f（x）|=ex-1 在原点处的导数值为ex|x=0=1，
故当|f（x）|≥ax时，有-2≤a≤1，
即a的取值范围是[-2，1]，
故选：D．
已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式．
正确答案
解：已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x-3|=3-x．
（1）若x2-4x+a＜0，则原不等式化为x2-3x+a+2≥0．
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x2-4x+a＜0不成立．
（2）若x2-4x+a≥0，则原不等式化为x2-5x+a-2≤0．因为x≤3，
令x2-5x+a-2=（x-3）（x-m）=x2-（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．
此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}
故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．
解析
解：已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x-3|=3-x．
（1）若x2-4x+a＜0，则原不等式化为x2-3x+a+2≥0．
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x2-4x+a＜0不成立．
（2）若x2-4x+a≥0，则原不等式化为x2-5x+a-2≤0．因为x≤3，
令x2-5x+a-2=（x-3）（x-m）=x2-（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．
此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}
故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．
已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F-函数．给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=
正确答案
②④
解析
解：对于①，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F-函数．
对于②f（x）=
对于③f（x）=2x ，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数．
对于 ④f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|≤|2x|=2|x|，故函数f（x）为F-函数．
故答案为 ②④．
若对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|＞|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，则实数x的取值范围______．
正确答案
（-∞，-3]∪[-1，+∞）
解析
解：已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，
即|x-1|-|2x+3|≤
∵
①当x≤-
②当-
③当x≥1时，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
综上，x的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．
故答案为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．
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